Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора (Санчес) - страница 61

Этот результат не только показывал, что гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника несоизмерима с катетами, но и поставил греческую математику перед фундаментальной проблемой.

Графическое представление доказательства Гиппаса из Метапонта. Математик из Великой Греции вычислил диагональ квадрата — величину, до тех пор неизвестную, — использовав теорему Пифагора.

Пифагорейцы постулировали абсолютную связь между числом и геометрией, но существование несоизмеримых величин подрывало сами основы этих отношений. Конечно, из-за этого члены братства не перестали изучать длины и соотношения в геометрии, но ограничились числовыми соотношениями только в тех случаях, когда они были соизмеримы. Со временем геометрические величины дистанцировались от величин числовых, так что те и другие стали изучаться раздельно. Введение понятия несоизмеримости убедило греческих математиков в том, что геометрия должна развиваться независимо от арифметики. Так разрушалась пифагорейская традиция, которая не делала различия между этими областями знания. Из «Диалогов» Платона ясно видно, что уже в его время геометрия считалась отдельной наукой.

Каким образом пифагорейцы так поздно заметили этот слабый пункт, который привел к кризису их систему? Что они ожидали найти в диагонали квадрата? Согласно теореме Пифагора, для квадрата со стороной 1 построенный на его диагонали квадрат будет иметь площадь, равную 2, и, таким образом, длина d данной диагонали должна быть числом, которое при возведении в квадрат дает 2 (то есть (d2 = 2). Здесь на сцену возвращается √2. Величина √2 была длиной отрезка, который можно, опираясь на квадрат, легко построить с помощью линейки и циркуля. Естественным было и предположение, что введя некую величину u (меньшую 1), можно было ею одновременно измерить и сторону (1), и диагональ (√2) квадрата? Очевидным было предположение, что сторона и диагональ квадрата должны быть соизмеримы. Однако это оказалось не так.

Такая постановка задачи приводит к следующему выводу: при умножении общей единицы и на некое целое число п должна получиться длина стороны 1 = nu, а при умножении ее на другое целое число m получается длина диагонали √2 = mu. Следовательно, должно быть верно следующее:

Иными словами, соизмеримость предполагает, что √2 представляет собой дробь вида m/n, где m и n — целые положительные числа. Идя по этому пути, пифагорейцы столкнулись с весьма неприятным результатом: они выяснили, что существуют числа, которые невозможно выразить через отношение целых чисел, и это открытие было несовместимо с их идеей универсальной арифметики. Последователи учителя назвали соизмеримыми соотношениями те, которые можно было выразить целыми числами, что означало, что обе величины могли быть измерены некоей общей единицей, а остальные — несоизмеримыми соотношениями.