Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора (Санчес) - страница 62

Таким образом, то, что в современной математике выражается как

√2/2,

есть несоизмеримое соотношение.

История Гиппаса с ее совершенной фабулой, включая драматический финал, сочетает в себе элементы, которым позавидовал бы любой писатель: простой квадрат таит в себе семена разрушения, недальновидный член братства открывает ящик Пандоры... На самом деле не существует доказательств, что эти факты действительно имели место, и невозможно утверждать, что именно Гиппас открыл несоизмеримость квадрата. Еще одна легенда приписывает ему совсем другое доказательство существования несоизмеримости. В истории он остался человеком, который предъявил публике шар, составленный из 12 пятиугольников. Правильный пятиугольник — это математическая фигура, на которой относительно легко продемонстрировать свойство несоизмеримости, особенно с помощью древнего метода бесконечного спуска, который имел фундаментальное для греческой математики значение. С его помощью находили, к примеру, наибольший общий делитель двух чисел.

Метод состоит в следующем: даны две различные величины (a, b), где a < b, и из большей вычиталась меньшая; получалась новая величина b — a, и она вычиталась из a, и так далее. Эта процедура неприменима к паре величин (a и b), если они несоизмеримы. Когда a и b представляют собой натуральные числа, можно определить их наибольший общий делитель (НОД). Данная процедура, называемая евклидовым алгоритмом, всегда конечна и приводит к точному результату. Если процедура бесконечна, то наибольшего общего делителя не существует, и величины несоизмеримы. Эта теорема — мы не будем ее здесь приводить — была доказана Евклидом в книге X «Начал»: «Если даны две величины, и при последовательном вычитании меньшей из большей остаток никогда не сравняется с предыдущей величиной, то эти две величины несоизмеримы ».

Демонстрация существования несоизмеримых отрезков в пентаграмме.

Как видно на рисунке, диагонали правильного пятиугольника образуют другой правильный пятиугольник и так далее. Для цепочки пятиугольников, получаемых с помощью такого процесса, действительны отношения АЕ =АВ' и B'D =В'Е, где AD - АЕ = В'Е и аналогичным образом АЕ = ED' = ЕА' и В'Е' = B'D = Β'Έ, следовательно, АЕ - Β'Έ' = В'А', и так далее до бесконечности.

Из этого можно вывести, что:

— разница между диагоналями и сторонами большего пятиугольника такая же, как у меньшего пятиугольника;

— разница между сторонами большего пятиугольника и диагоналями меньшего равна сторонам меньшего пятиугольника;

— разница между диагоналями меньшего пятиугольника и его сторонами снова равна диагоналям следующего меньшего треугольника и так далее.