Традиция обычно представляет Архита главным действующим лицом последнего периода расцвета пифагорейской школы, в то время как современные историки считают, что он возродил сошедший было со сцены пифагореизм, лишив его мистического аспекта и рационализировав его таким образом, чтобы представить это течение «наукой наук», основанной на математике и музыке. Он автор некоторых серьезных достижений в области математики, которыми позднее восхищался Евклид, — например, ему принадлежит демонстрация иррациональных соотношений и доказательство иррациональности квадратного корня с помощью процедуры, впоследствии названной евклидовой, хотя впервые использовал ее именно Архит.
В области музыки он пытался обосновать гармонию математическими соображениями и изучал пропорции мелодических созвучий — октавы, квинты и кварты. Кроме того, Архит сформулировал акустическую теорию звука, причину которого видел в движении тел в воздухе и разнообразной скорости такого движения, что находилось в русле идеи о гармонии сфер. В геометрии он использовал чисто математический подход. Мыслителю приписывают открытие трехмерного решения задачи об удвоении куба, которое впоследствии предложил Гиппократ Хиосский (ок. 470-410 до н.э.), и это было следствием развития трехмерной геометрии (стереометрии). Архит первым нашел геометрическое решение этой проблемы, неразрешимой в рамках построений исключительно с помощью линейки и циркуля, как и квадратура круга или трисекция угла. Его решение было в геометрическом смысле безупречно, хотя и весьма сложно, и тем не менее оно было неприемлемо с точки зрения строгих критериев греческой геометрии — использования только линейки и циркуля.
Наконец, считается, что Архит собрал все сведения традиции о решении теоремы Пифагора, хотя точных доказательств этому нет. Неоплатоник Прокл (412-485) в своих комментариях к «Началам» Евклида первым приписал авторство теоремы самосскому ученому. Возможно, Пифагор был всего лишь мнимым автором этого открытия, а сама теорема была выдвинута и доказана анонимным гением архаической эпохи.
УДВОЕНИЕ КУБА
Удвоение куба получило также название Делосской задачи. Легенда рассказывает о ее решении Архитом, а также о его взглядах на математику как способ обеспечить политическое сотрудничество. Когда на острове Делос, месте рождения бога Аполлона, разразилась эпидемия чумы, жители острова обратились к оракулу Аполлона в Дельфах, чтобы узнать, как им избавиться от напасти. Ответ был таков: им надо сделать новый алтарь Аполлону в форме куба, который был бы в два раза больше прежнего. Граждане Делоса попытались просто удвоить размеры прежнего алтаря, однако новый куб имел объем в восемь раз больше. Тогда они обратились за советом к Платону, который ответил им: Аполлон таким образом просто решил обратить их внимание на то, что следует неустанно заниматься геометрией. Когда эта задача стала известна Архиту, он смог разрешить ее с помощью геометрии, использовав так называемую кривую Архита. Тарентский ученый предложил использовать кривую, которая образуется движением точки, и поверхность, которая образуется движением кривой. С помощью этих инструментов он решил задачу, найдя пропорцию между двумя заданными величинами. В современной записи, приняв для простоты длину ребра первоначального куба за 1 и введя такие переменные х и у, что