Но если методы решения задач различными учеными индивидуальны, то напрашивается вопрос, а не существуют ли какие-то общие принципы и подходы к решению научных проблем? Да, такие принципы, накопленные опытом предшествующих поколений ученых, существуют п каждой области науки, но особенно широко они разработаны в математике, служащей универсальным языком для многих областей науки.
Единым считается принцип подобия, в соответствии с которым различные по своей природе процессы или явления стремятся описать одинаковыми, но записанными в свободной форме уравнениями. В таком случае коэффициенты этих уравнений трактуют как критерии подобия описываемых процессов.
Принцип подобия широко используют и в областях науки, далеких от математических форм выражения. Так, в гомеопатии главенствующим является следующий принцип подобия: если растение, минерал или продукт, созданный человеком, вызывает состояние, подобное какой-либо известной болезни, то малые дозы этого вещества должны способствовать излечению человека от этой болезни.
При решении многих задач используют метод математической индукции. В связи с развитием электронно-вычислительной техники большое значение при математическом описании проблем уделяют вопросам алгоритмизации и применению численных методов. Численные методы, реализуемые на ЭВМ, как правило, весьма сложны, и из них не всегда ясен физический смысл получаемых результатов. Поэтому опытный ученый обязательно пытается получить параллельно более простое аналитическое решение задачи, максимально упрощая ее постановку. Делается это для того, чтобы в другой задаче, где встретится подобная ситуация и сложный метод откажет, можно было использовать более простой подход, основанный на глубоком понимании сути проблемы. К тому же надо иметь в виду, что численные методы неудобны для реализации решения обратных задач. При отыскании аналитических решений используют разложения в бесконечные ряды. Для сходимости последних необходимо существование малого параметра, по степеням которого осуществляется разложение в ряд. В каждой решаемой задаче следует установить наличие такого параметра.
Любую сложную задачу целесообразно свести к совокупности гораздо более легких задач. Движение к окончательному результату должно сводиться к последовательному преодолению сравнительно небольших трудностей, к движению шаг за шагом.
Прежде всего задача упрощается до предела так, что остаются только ее главные черты (постепенно усложнить уже решенную задачу всегда гораздо легче, чем первоначально решить более сложную).