Первые представления об интеграле люди получили еще в древности, пытаясь определить, например, площадь участка земли или объем бочки. Поскольку тогда никто еще не располагал таким широким ассортиментом вещественных чисел, каким пользуемся мы, нашим предкам приходилось идти на разные хитрости. Зачастую вопрос решался путем чертежей и геометрических измерений. Так, в IV в. до н. э. греческий математик Евдокс Книдский придумал весьма изобретательный способ вычислений. Базировался он на сравнении любых фигур с квадратом, потому расчет площади получил название квадратура, а нахождение объема — кубатура. Скажем, чтобы узнать площадь круга, Евдокс сначала вписывал в него квадрат, измерял, затем дорисовывал квадрат до восьмиугольника и измерял треугольнички в сегментах круга, потом трансформировал восьмиугольник в 16-угольник — и продолжал до тех пор, пока многогранник не сливался с окружностью. Финальным аккордом было суммирование площадей всех фигур, составляющих круг (от самой крупной до мельчайших), и определение общего размера. Таким образом, ученый словно вычерпывал круг, и его алгоритм был назван методом исчерпывания.
В III в. до н. э. знаменитый Архимед отшлифовал и упростил данный алгоритм. Это позволило ему вычислять размеры разных сегментов параболы (участков внутри кривой, которые получаются при ее пересечении прямой), габариты шара и эллипсоида (тела, образованного поверхностью вращающегося эллипса, — то есть как бы эллипса в 3D), а также шара, вписанного в цилиндр. Более того, ученый вывел формулу площади круга: квадрат радиуса, умноженный на число «пи», — и даже уточнил само значение «пи»: больше 3 и меньше 3 ¹⁰⁄₇₀.
Другой известный эллин — философ Демокрит (460―370 до н. э.), создал собственную методику расчета площадей нестандартных фигур, которая оказалась еще ближе к интегрированию, нежели способ Евдокса и Архимеда. Суть метода была в сложении максимально большого количества минимальных площадей. К примеру, при вычислении размеров трапеции с искривленной верхней стороной Демокрит делил фигуру на множество вертикальных отрезков, прочерчивая их так часто, как только мог. Затем рассчитывал площадь полосок между каждой соседней парой отрезков и суммировал все результаты. Элементарные площади были настолько малыми, что философ приравнивал их к нулям, признавая, однако, их исключительность, ведь в массе своей они являли не ноль, а положительное, подчас даже большое число.
На рубеже XVI–XVII вв. многие ученые принялись развивать идеи античных мыслителей. Так, астроном Иоганн Кеплер (1571–1630) находил способом Демокрита площади эллипсов, а также размеры разных объемных предметов. Несложно догадаться, что второе предусматривало разрезание объектов измерения на узенькие кубоиды с помощью тонких-претонких пластинок. Основываясь на опыте Кеплера, итальянец Бонавентура Кавальери вывел правило для определения размеров любых фигур: если параллельные прямые пересекают две фигуры так, что получаются отрезки равной длины либо сечения одинаковой площади, то данные фигуры по габаритам равноценны.