Среди препятствий, которые пришлось преодолеть исследователю, оказалась и проблема измерения регрессии между величинами, выражающимися в разных единицах: например, весом и умением играть на пианино. Их измеряют, беря в качестве эталона для сравнения все население. Представьте, что у 100 детей из всех классов начальной школы измерили вес и умение играть и расположили результаты по порядку, от максимальной до минимальной величины каждого показателя. Если Джейн на третьем месте по музыке и на двадцать седьмом по весу, можно сказать, что игра на пианино у нее лучше, чем рост. Давайте для простоты сделаем несколько допущений.
В любом возрасте:
• Успехи в игре на пианино зависят только от количества часов занятий в неделю.
• Вес зависит исключительно от количества потребляемого мороженого.
• Поедание мороженого и количество часов занятий музыкой в неделю – независимые величины.
Теперь мы можем написать некоторые уравнения с использованием позиций в списке (или стандартных оценок, как их называют статистики):
вес = возраст + потребление мороженого
игра на пианино = возраст + количество часов занятий в неделю
Очевидно, что при попытках предсказать уровень игры на пианино по весу или наоборот, будет появляться регрессия к среднему. Если о Томе известно лишь то, что он по весу двенадцатый (намного выше среднего), можно сделать статистический вывод, что Том, вероятно, старше среднего и, возможно, потребляет больше мороженого, чем другие. Если о Барбаре известно лишь то, что она восемьдесят пятая по пианино (намного ниже среднего по группе), можно сделать вывод, что Барбара, скорее всего, еще маленькая и, наверное, занимается меньше других.
Коэффициент корреляции между двумя величинами, варьирующийся от 0 до 1, – это мера относительного веса факторов, влияющих на обе из них. Например, у всех нас половина генов – общая с каждым из родителей, и у черт, на которые внешние факторы влияют мало (например, у роста), корреляция между показателями родителя и ребенка близка к 0,5. Чтобы оценить значение меры корреляции, приведу несколько примеров коэффициентов:
• Корреляция между размерами объектов, точно измеренных в метрических или в имперских единицах, составляет 1. Все определяющие факторы влияют на оба измерения.
• Корреляция между весом и ростом, сообщенными респондентами, для взрослых американских мужчин составляет 0,41. Если включить в группу женщин и детей, то корреляция будет намного выше, поскольку пол и возраст индивида влияют на их оценку своего роста и веса, что увеличивает относительные значения общих факторов.