Двойственная форма доказательства Гёделя
Те системы, которые, как доказал Гёдель, являются неполными, обладают также следующим свойством: с каждым утверждением X связано утверждение X', о называется отрицанием X, которое истинно в том только том случае, если утверждение X ложно. Далее, если X' — отрицание некоего утверждения X — доказуемо в данной системе, то само утверждение X называется опровержимым в данной системе. Если предположить, что система правильна, то ни одно ложно, утверждение в этой системе не будет доказуемо и ни одно истинное утверждение не будет в ней опровержимо.
Ранее мы убедились, что условия G>1, G>2 и G>3 влекут за собой существование некоего гёделева утверждения, или высказывания, G для множества, также что такое утверждение G является истинным, не. недоказуемым в данной системе (предполагая, конечно, что система правильна). Но поскольку G истинно, оно не может быть опровержимым в этой системе (опять, же в предположении правильности системы). Значит утверждение G в данной системе и не доказуемо, и неопровержимо. (Такое утверждение называется неразрешимым в данной системе.)
В своей монографии «Теория формальных систем»[10] (1960 г.) я рассматривал «двойственную» форму доказательства Гёделя, а именно: что будет, если вместо высказывания, утверждающего свою недоказуемость, построить высказывание, утверждающее свою опровержимость? Более строго эту проблему можно сформулировать так. Пусть R — множество гёделевых номеров опровержимых утверждений. Предположим, что X — гёделево утверждение для R. Что можно сказать о свойствах утверждения X?
Высказанная здесь идея развивается нами в следующей задаче.
7. Рассмотрим теперь правильную систему, которая удовлетворяет условию G>3, а вместо условий G>1, G>2 потребуем выполнения следующего условия.
Условие G'>1. Множество R именуемо в данной системе. (Таким образом, мы предполагаем, что система правильна и удовлетворяет условиям G>1 и G>3.)
а. Показать, что существует такое утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть в данной системе.
б. Рассмотрим следующий частный случай: пусть нам дано, что A>10 — это множество R и что для любого числа n множество A>5*n представляет собой множество (таких чисел х, для которых число x*x принадлежит А>n (здесь мы имеем частный случай условия G>3). Задача теперь состоит в том, чтобы найти утверждение, которое было бы и недоказуемым, и неопровержимым и данной системе, а также определить, является ли это утверждение истинным или ложным.
Примечания. 1. Гёделев метод получения неразрешимого утверждения сводится к построению гёделева утверждения для множества