— дополнения
P; такое утверждение (его можно рассматривать как высказывание, утверждающее собственную недоказуемость) должно быть истинным, но недоказуемым в данной системе. Двойственный метод сводится к построению гёделева утверждения не для множества
P̅, а для множества
R; такое утверждение (его можно рассматривать как высказывание, утверждающее собственную опровержимость) должно быть ложным, но неопровержимым. (Поскольку оно ложно, оно так же недоказуемо и, следовательно, неразрешимо в данной системе.) Следует отметить, что те системы, которые рассматриваются в оригинальной работе Гёделя, удовлетворяют всем четырем условиям — G
>1, G
>2, G
>3 и G
>1, так что для построения неразрешимых утверждений можно использовать как тот, как и другой метод.
2. Высказывание, которое утверждает собственную недоказуемость, можно сравнить со словами того обитателя острова рыцарей и плутов, который заявляет, будто он непризнанный рыцарь, точно гак же высказывание, утверждающее свою собственную опровержимость, можно уподобить словам такого обитателя острова, который заявляет, что он отъявленный плут; этот человек и в самом деле мошенник, но неотъявленный. (Предоставляю читателю возможность доказать это самому.)
1. Предположим, система действительно удовлетворяет условию G>3. Пусть S — любое множество, именуемое в данной системе. Тогда, согласно условию G>3, множество S* тоже именуемо в этой системе. Значит, существует такое число b, для которого А>b = S*. Далее, число x принадлежит множеству S* только в том случае, если число x*x принадлежит множеству S. Поэтому x принадлежит множеству A>b только в том случае, если x*x принадлежит S. В частности, если в качестве x выбрать число b, то это число принадлежит; множеству A>b, только в том случае, если число b*b принадлежит множеству S. Кроме того, число b принадлежит A>b в том и только том случае, если утверждение b ∈ A>b истинно. Поэтому утверждение b ∈ A>b истинно тогда и только тогда, когда b*b принадлежит множеству S. Но число b*b есть гёделев номер утверждения b ∈ A>b. Следовательно, мы имеем, что утверждение b ∈ A>b будет истинным тогда и только тогда, когда гёделев номер этого утверждения принадлежит множеству S. Итак, если утверждение b ∈ A>b истинно, то его гёделев номер принадлежит S; если ж это утверждение ложно, то его гёделев номер принадлежит S. Таким образом, утверждение b ∈ A>b является гёделевым утверждением для S.
2. В системе Фергюссона при любом заданном числе n множество A>3·n+1 представляет собой множество A>n*. Поэтому множество