, допускало бы имя и его дополнение
T̅, что на самом деле не имеет места. Это доказывает, что в системе, удовлетворяющей условиям G
>2 и G
>3, множество
Т не именуемо.
Окончательно: а) если выполняется условие G>3, то множество T̅ не именуемо в данной системе; б) если выполняются условия G>1 и G>3, то ни множество Т, ни его дополнение T̅ в этой системе не именуемы.
6. Как только теорема Т доказана, теорему G можно получить следующим образом.
Предположим, что мы имеем правильную систему, удовлетворяющую условиям G>1; G>2 и G>3 — Из условий G>2 и G>3, согласно теореме Т, следует, что множество Т не допускает имени в данной системе. Но, согласно условию G>1, множество P допускает имя в данной системе. Поэтому раз P допускает имя в рамка системы, а Т нет, то, значит, это должны быть разные множества. Однако каждое число, принадлежащее множеству P, входит также и в множество Т, поскольку нам дано, что система является правильной в том смысле, что каждое доказуемое утверждение в ней истинно. Стало быть, поскольку множество Т не совпадает с множеством P, в множестве Т должно существовать хотя бы одно число n, которое не принадлежит P. Вместе с тем, поскольку это n принадлежит Т, оно должно быть гёделевым номером некоего истинного утверждения X. Но поскольку это число n не принадлежит P, то утверждение X должно быть недоказуемым в данной системе. Значит, утверждение X истинно, но недоказуемо в данной системе. Итак, теорема G действительно имеет место.
7. Пусть теперь нам даны условия G'>1 и G>3.
а. Согласно условию G'>1, множество R именуемо в данной системе. Тогда, согласно условию G>3, множество R* также допускает имя в рамках этой системы. Следовательно, существует такое число h, при котором A>h = R*. Далее, по определению множества R* число x принадлежит R* в том и только том случае, если число x*x принадлежит множеству R. Поэтому для любого x это x принадлежит A>h в том и только том случае, если число x*x входит в множество R. В частности, если к качестве x выбрать h, то число h будет принадлежать, A>h в том и только том случае, если число h*h входит в R. Далее, h принадлежит A>h в том и только том случае, если утверждение h ∈ A>h, истинно. С другой стороны, поскольку число h*h есть гёделев номер утверждения h ∈ A>h, то h*h входит в R в том и только в том случае, если утверждение h ∈ A>h опровержимо. Значит, утверждение h ∈ A>h истинно в том и только в том случае, если оно опровержимо. Отсюда следует, что данное утверждение либо истинно и опровержимо, либо ложно и неопровержимо. Однако оно не может быть истинным и опровержимым, поскольку наша система правильна по условию задачи; следовательно, оно должно быть ложным и неопровержимым. Наконец, раз это утверждение ложно, оно не может быть и доказуемым (опять же потому, что система правильна). Таким образом, утверждение