Принцесса или тигр? (Смаллиан) - страница 117

б. Пусть нам дано, что множество A_>10 — это R и что A_>5·n при любом числе n совпадает с множеством A_>n*. Значит, A_>50 есть множество R*. Тогда, согласно решению «а», если принять h = 50, то утверждение 50 ∈ A_>50 будет недоказуемым и неопровержимым. Кроме того, это утверждение будет ложным.

Рассмотрим теперь доказательство Гёделя с несколько иной точки зрения, которая позволяет увидеть основную идею особенно ярко.

Возьмем четыре символа P, N, А, ‒ и рассмотрим всевозможные комбинации этих символов. Произвольную комбинацию указанных символов мы будем называть выражением. Например, выражением является комбинация P‒‒NA‒P; точно так же выражением будет комбинация ‒PN‒‒А‒P‒. Некоторым выражениям мы будем приписывать определенный смысл — такие выражения в дальнейшем будут называться утверждениями.

Предположим, что у нас имеется машина, которая может выдавать нам (распечатывать) одни выражения и не может выдавать другие. При этом те выражения, которые машина может напечатать, мы будем называть допускающими распечатку. Предполагается, что любое выражение, которое может напечатать машина, рано или поздно обязательно будет ею напечатано. Если нам задано выражение X и мы хотим высказать суждение, что X допускает распечатку, то будем записывать это как P‒X. Так, например, запись P‒ANN означает, что выражение ANN допускает распечатку (при этом неважно, является ли это утверждение истинным или ложным). Если же мы хотим сказать, что выражение X не допускает распечатки, то будем писать NP‒X. (Символ N — от англ. not — отрицание «не», а символ P — от англ. printable — допускающий распечатку.) Таким образом, запись вида NP‒X следует читать как «не допускающее распечатки X», или, что по существу то же самое, «выражение X не допускает распечатки».

Ассоциатом выражения X мы будем называть выражение X‒X; при этом вместо слова «ассоциат» нами будет использоваться символ А (от англ. associate). Таким образом, если нам задано некоторое выражение X и мы хотим сказать, что ассоциат выражения X допускает распечатку, то будем записывать это как РА‒X. Если мы теперь хотим сказать, что ассоциат утверждения X не допускает распечатки, то это будет записываться как NPA‒X.

Читателя, быть может, удивляет, что мы используем тире в качестве своеобразного символа. В самом деле, почему, когда нам нужно высказать суждение о том, что выражение X допускает распечатку, вместо записи P‒X не писать просто РХ? Это делается для того, чтобы избежать определенной двусмысленности. В самом деле, что, например, может означать запись