в данном случае мы будем подразумевать «допускающий распечатку первой машиной», а под символом
R — «допускающий распечатку второй машиной». Таким образом, запись
P‒X означает, что выражение
X допускает распечатку первой машиной, а запись
R‒X — что выражение
X допускает распечатку второй машиной. Запись
РА‒X означает, что ассоциат выражения
X допускает распечатку первой машиной, а запись
RA‒X показывает, что ассоциат выражения
X допускает распечатку второй машиной. Наконец, «фразы»
NP‒X, NR‒X, NPA‒X, NRA‒X говорят соответственно о следующем: выражение
X не допускает распечатки первой машиной; выражение
X не допускает распечатки второй машиной; выражение
X‒X не допускает распечатки первой машиной; выражение
X‒X не допускает распечатки второй машиной. Под утверждением мы будем теперь понимать любое выражение одного из следующих восьми типов:
P‒X, R‒X, NP‒X, NR‒X, РА‒X, RA‒X, NPA‒X, NRA‒X. Кроме того, пусть нам известно, что первая машина печатает только истинные утверждения, а вторая — только ложные. Условимся называть некоторое утверждение доказуемым в том и только том случае, если оно допускает распечатку первой машиной, и ложным — в том и только том случае, если оно: может быть напечатано второй машиной. Таким образом, символ
P означает «доказуемый» (от англ. provable), а символ
R — «опровержимый» (от англ. refutable).
4. Найдите утверждение, которое было бы ложным, но неопровержимым.
5. Имеются такие два утверждения X и Y, что одно из них (правда, нам не известно, какое именно) должно быть либо истинным, но недоказуемым, либо ложным, но неопровержимым (мы не знаем, каким именно). Такие пары можно строить двумя способами, и соответственно я предлагаю вашему вниманию две задачи:
а. Найдите такие высказывания X и Y, чтобы X утверждало доказуемость Y, a Y утверждало опровержимость X. Далее, покажите, что одно из них (мы не можем сказать, какое именно) либо истинно, но недоказуемо, либо ложно, но неопровержимо.
б. Найдите такие высказывания X и Y, чтобы X утверждало недоказуемость Y, а Y утверждало неопровержимость X. Далее покажите, что одно из этих высказываний, X или Y (мы не можем сказать, какое именно), либо истинно, но недоказуемо, либо ложно, но неопровержимо.
6. А теперь рассмотрим задачу с четырьмя неизвестными! Пусть нам требуется найти такие высказывания X, Y, Z и W, чтобы X утверждало доказуемость Y, Y утверждало опровержимость Z, Z утверждало опровержимость W, a W утверждало бы неопровержимость X. Покажите, что одно из этих четырех высказываний должно быть либо истинным, но недоказуемым, либо ложным, но неопровержимым (хотя, какое из этих четырех будет именно таким высказыванием, сказать невозможно).