В>1: утверждение В‒X истинно тогда и только тогда когда логик верит в X;
В>2: утверждение NB‒X истинно тогда и только тогда когда логик не верит в X;
В>3: утверждение ВА‒X истинно тогда и только тогда когда логик верит в X‒X;
В>4: утверждение ВА‒X истинно тогда и только тогда, когда логик не верит в X‒X.
Предполагая, что наш логик точен, то есть что он не верит в ложные утверждения, мы можем, разумеется, найти некое утверждение, которое является истинным, но о котором логик не знает, что оно истинно. Таким утверждением будет высказывание NBA‒NBA (которое говорит нам о том, что логик не верит в ассоциат выражения NBA, имеющий вид NBA‒NBA).
А дальше начинается нечто интересное. Предположим, нам известно об этом ученом-логике следующее.
Обстоятельство 1. Наш ученый-логик знает логику не хуже нас с вами. Предположим, что он обладает абсолютными логическими способностями; это означает, что если ему заданы какие-нибудь логические посылки, то он может вывести из них все возможные суждения.
Обстоятельство 2. Логику известно, что выполняются условия В>1, В>2, В>3 и В>4.
Обстоятельство 3. Логик всегда точен, то есть он не верит в ложные утверждения.
Далее, раз логику известно, что имеют место условия В>1, В>2, В>3 и В>4, и он может рассуждать так же логично, как мы с вами, ничто не мешает ему провести те же рассуждения, которые провели мы, прежде чем доказали, что утверждение NBA‒NBA должно быть истинным. Ясно, что, как только он это проделает, он сразу поверит в утверждение NBA‒NBA. Но как только он в него поверит, это утверждение становится опровергнутым, ибо смысл данного утверждения как раз и заключается в том, что наш логик в него не верит, — тем самым в конце концов окажется, что наш логик неточен!
Итак, не приходим ли мы к некоему парадоксу, если принимаем обстоятельства 1, 2 и 3? Конечно, нет, никакого парадокса здесь нет. Просто в последнем абзаце моего рассуждения допущена намеренная неточность! Не могли бы вы ее обнаружить?
1. Для любого выражения X утверждение NPA‒X означает, что ассоциат выражения X не допускает распечатки. В частности, утверждение NPA‒NPA означает, что ассоциат выражения NPA не допускает распечатки. Но ассоциатом NPA является само утверждение NPA‒NPA! Следовательно, высказывание NPA‒NPA утверждает невозможность собственной распечатки; другими словами, это высказывание истинно в том и только том случае, если оно не допускает распечатки. Отсюда следует, что оно либо истинно, но не допускает распечатки, либо ложно, но распечатку допускает. Последний случай исключается, поскольку машина является точной. Следовательно, нам остается лишь первая возможность: данное утверждение истинно, но не может быть напечатано машиной.