— Ну хотя бы число 323, — ответил Мак-Каллох. — Ведь число 323 порождает самое себя и поэтому, сколько бы раз я не вводил его в машину, я всегда буду получать 323. Так что в данном случае процесс явно оказывается бесконечным.
— А ведь верно! — засмеялся Крейг. — Ну хорошо, а существуют ли другие вечные числа?
1. — Тогда, — продолжал Мак-Каллох, — что ты скажешь по поводу числа 3223? Отмирающее оно или вечное?
2. — А как насчет числа 32223? — спросил Фергюссон. — Оно для вашей первой машины — отмирающее или вечное?
Мак-Каллох на некоторое время задумался.
— Это не так трудно определить, — ответил он наконец — Однако я думаю, вам будет интересно разобраться в этом самому.
3. — Можете попробовать еще число 3232, — в свою очередь предложил Мак-Каллох, — попытайтесь определить — отмирающее оно или вечное.
4. — А если взять число 32323? — спросил Крейг. — Отомрет оно или нет?
5. — Все это очень интересно, — сказал Мак-Каллох, — но я еще не добрался до самого главного. А дело вот в чем: один мой приятель придумал весьма хитроумную числовую машину. Он утверждает, будто его машина может выполнять любые операции, на которые только способна числовая машина вообще. Мой друг назвал ее универсальной машиной. И вот оказывается, что есть несколько таких чисел, про которые ни я, ни он не можем сказать — отмирающие они или вечные. Поэтому мне хотелось бы разработать какой-нибудь чисто механический тест, чтобы определять, какие числа отмирающие, а какие — вечные. Правда, пока у меня ничего не выходит. Конкретнее, я пытаюсь найти такое число Н, которое для любого приемлемого числа X давало бы вечное число НХ, если X — отмирающее, и отмирающее число НХ, если X — вечное. Если бы мне это удалось, то я сразу смог бы определить, отмирающее ли или вечное любое приемлемое число X.
— А как именно это определить с помощью числа Н? — спросил Крейг.
— Если бы я нашел число Н, — объяснил Мак-Каллох, — то сначала построил бы такую же машину, как у моего приятеля. Потом, взяв произвольное приемлемое число X, я ввел бы его в одну из машин; одновременно мой приятель ввел бы число НХ в другую машину. Понятно, что описанный процесс может прекратиться только в одной из машин; если это произойдет в моей машине, я буду знать, что число X — отмирающее; если в машине моего приятеля, то я сразу пойму, что число X — вечное.
— Да ведь вам незачем строить вторую машину, — сказал Фергюссон. — Это можно сделать и на одной машине, просто переключая ее с одного процесса на другой.
— Верно, — согласился Мак-Каллох. — Но только все это пустые рассуждения, пока я не сумел найти число