Вполне возможно, что моя машина просто не способна решить задачу о своей собственной «выживаемости», то есть, я хочу сказать, что, быть может, такого числа
Н вообще не существует. А может, это я не способен найти такое число. Вот эту то проблему, джентльмены, я и хотел бы обсудить вместе с вами.
— Ну что ж, — сказал Фергюссон, — прежде всего мы должны знать, по каким правилам работает данная машина.
— Всего в ней используется 25 правил, — начал было Мак-Каллох. — Первые два из них — те же самые, что и в моей первой машине.
— Минуточку, — прервал его Фергюссон. — Вы хотите сказать, что машина вашего приятеля подчиняется правилам 1 и 2?
— Вот именно, — ответил Мак-Каллох.
— Тогда мне все ясно, — заявил Фергюссон. — Ни одна машина, в которой действуют правила 1 и 2, не может решить задачу о своей собственной «выживаемости».
— Как же вы сумели так быстро об этом догадаться? — спросил Крейг.
— Я уже сталкивался с подобного рода вещами, — объяснил Фергюссон. — Не так давно в моей работе возникла аналогичная проблема.
И все же, как именно Фергюссон определил, что машина, подчиняющаяся правилам 1 и 2, не может решить задачу о своей собственной «выживаемости»?
1. Напомним, что число 3223 порождает число 23223, а число 23223 в свою очередь порождает число 3223. Значит, у нас есть два числа, 3223 и 23223, которые порождают друг друга. Отсюда следует, что оба они вечны: ведь если ввести в машину одно из них, то получится второе, а если ввести второе, то получится первое. Ясно, что такой процесс бесконечен.
2. Возьмем два любых числа X и Y. Мы будем говорить, что число X приводит к числу Y, если X порождает Y, или если X порождает какое-то число, которое порождает Y, или если X порождает какое-то число, которое порождает другое число, которое в свою очередь порождает Y, и т. д. Иначе говоря, если, введя в машину число X, мы на каком-то этапе нашего процесса получим число Y, то будем говорить, что число X приводит к числу Y. Так, например, число 22222278 приводит к числу 78 фактически на шестом этапе. В более общем виде: если число Т представляет собой произвольную цепочку двоек, то для любого числа X число ТХ в конце концов приводит к X.
Далее, число 32223 не порождает самое себя, но приводит к самому себе, потому что оно порождает число 2232223, которое порождает затем число 232223, а это число в свою очередь вновь порождает 32223. Но раз число 32223 приводит к самому себе, то, стало быть, оно должно быть вечным.
Читатель, по-видимому, уже обратил внимание на следующую закономерность: если число