состоит целиком из одних двоек, то число З
ТЗ должно приводить к самому себе и, следовательно, будет вечным.
3. Мне известен только один способ решения этой задачи: доказать в общем виде, что если число Т состоит целиком из одних двоек, то число ЗТ32 вечно и, следовательно, частный его случай — число 3232 — тоже является вечным. Этот факт служит иллюстрацией некоторого еще более общего принципа, который используется нами в решении следующей задачи.
Предположим, что у нас имеется определенный класс чисел (неважно, конечный или бесконечный), причем такой, что каждое число из этого класса приводит к некоторому числу из этого же класса (либо к самому себе, либо к другому числу). Тогда все числа, входящие в этот класс, должны быть вечными.
Попробуем воспользоваться этим принципом применительно к нашей задаче. Рассмотрим класс чисел вида ЗТ32, где Т — произвольная цепочка двоек. Покажем, что число ЗТ32 должно приводить к другому числу из этого же класса.
Возьмем сначала число 3232. Оно порождает число 32232, то есть элемент того же класса. Теперь, что нам дает число 32232? Оно порождает число 2322232, которое в свою очередь порождает число 322232, то есть элемент того же класса. А что получается с числом 322232? Оно порождает число 223222232, которое порождает число 23222232, а оно в свою очередь дает нам число 3222232, так что мы опять возвращаемся в указанный класс. В более общем виде: для любой цепочки двоек Т число 32Т32 порождает число Т322Т32, которое приводит к числу 322Т32, опять представляющему собой элемент данного класса. Итак, все числа, входящие в указанный класс, являются вечными.
4. Число 32323 порождает число 3232323, которое порождает число 32323232323, а это последнее в свою очередь порождает число 3232323232323232323. Дальнейшая схема представляется очевидной: любое число, состоящее из повторенного несколько раз числа 32 с тройкой на конце, порождает другое число того же вида (только более длинное), причем все эти числа будут вечными.
5. Прежде всего обратим внимание на следующее обстоятельство: пусть у нас имеются два числа X и Y, такие, что число X порождает число Y. Тогда если Y — отмирающее число, то X тоже должно быть отмирающим, поскольку если Y через какие-то n этапов приводит к неприемлемому числу Z, то X приводит к тому же самому числу Z через n + 1 этапов. Кроме того, если Y вечно, то оно никогда не приведет к неприемлемому числу; стало быть, и число X не может привести к неприемлемому числу, поскольку X вообще может приводить к любому числу только через