Тогда, поскольку психика пары В и С одинакова, то С обязательно должен оказаться безумным, а так как психическое состояние пары А и D различно, то это означает, что D также будет безумным. Наконец. предположим, что А безумен, а В — нормальный человек. Поскольку пара В и С по условию различается по своему психическому состоянию, а пара А и D не различается, то отсюда следует, что и С, и D непременно должны быть безумными.
Резюмируя, можно сказать, что если у пары А и В состояние психики оказывается идентичным, то С и D будут нормальными людьми, если же психическое состояние А и В будет неодинаковым, то С и D обязательно должны оказаться не в своем уме.
Таким образом, мы установили, что С и D должны быть одновременно либо нормальными людьми, либо лишившимися рассудка. Предположим, к примеру, что оба они находятся в здравом уме. Тогда утверждение С, что он и D не являются оба врачами, будет истинным, откуда следует, что по крайней мере один из них является пациентом, и к тому же пациентом, находящимся в здравом уме. Если же С и D безумны, то заявление С оказывается ложным и, значит, оба они должны быть врачами, причем врачами, лишенными рассудка.
Итак, в обследованной Крейгом лечебнице содержится по крайней мере один находящийся в здравом уме пациент или работают двое лишившихся рассудка врачей.
10, 11, 12. Поначалу мы обратимся к задачам 11 и 12, поскольку самый легкий путь к решению задачи 10 состоит в том, чтобы сначала рассмотреть решение задачи 12.
Прежде чем приступить к их решению, позвольте мне сформулировать полезное правило. Пусть мы имеем два конкретных утверждения, например X и V, про которые нам известно, что они либо оба истинны, либо оба ложны. Тогда любой обитатель лечебницы, верящий в одно из этих утверждений, должен поверить также и другому. Основание: если оба утверждения истинны, то любой обитатель, который поверит одному из них, должен находиться в здравом уме, а значит, сразу должен поверить и другому утверждению, так как оно также является истинным. Если же оба утверждения ложны, тогда обитатель лечебницы, который примет за истину одно из них, непременно должен оказаться безумным, а значит, обязательно должен поверить и другому утверждению, поскольку оно тоже будет ложным.
Обратимся теперь к решению задачи 12. Рассмотрим два произвольных комитета — комитет 1 и комитет 2. Обозначим через U множество всех тех обитателей лечебницы, чьи злейшие враги объединены в комитет 1, а через V — множество всех тех обитателей, чьи лучшие друзья принадлежат комитету 2. Согласно утверждению 4, множества U и V представляют собой комитеты. Тогда в соответствии с утверждением 5 некий обитатель, назовем его Дэн, близкий друг которого, назовем его Эдвард, полагает, что Дэн входит в группу U, а злейший враг которого, назовем его Фрэд, считает, что Дэн состоит в V. Итак, Эдвард считает, что Дэн принадлежит комитету U, а Фрэд уверен, что Дэн входит в комитет V. Наконец, по определению множества U утверждение о том, что Дэн входит в U, равносильно утверждению о том, что его злейший враг Фрэд состоит в комитете 1. Другими словами, утверждения «Дэн входит в U» и «Фрэд состоит в комитете 1» либо оба истинны, либо оба ложны. Поскольку Эдвард принимает за истину одно из них, а именно, что Дэн входит в U, то он должен также принять на веру и другое, а именно что Фрэд состоит в комитете I (вспомним тут наше вспомогательное правило). Итак, Эдвард считает, что Фрэд состоит в комитете 1.