которое порождает само себя; можем также найти такое число, которое порождает повторение самого себя; задавая произвольное число
А, мы можем найти такое число
X, которое порождает
АХ; наконец, мы можем найти число
X, которое порождает повторение числа
АХ или же повторение повторения
АХ. Кроме того, используя машину Мак-Каллоха, из которой выведено правило 2, мы можем найти такое число
X, которое порождает обращение самого себя, или число
X, которое порождает повторение своего собственного обращения, или же число
X, которое порождает обращение числа
АХ, или, наконец, число
X, которое порождает повторение обращения числа
АХ. Далее, рассмотрим машину, в которой используются предложенные Мак-Каллохом правила 1, 2 и 4 (за исключением правила 3, то есть правила обращения). При такой машине у нас имеются два различных способа построения числа, которое порождает ассоциат самого себя, два способа построения числа, которое порождает свое собственное повторение; наконец, два способа построения числа, порождающего ассоциат своего повторения или повторение ассоциата самого себя.
Наконец, если у нас имеется произвольная машина, в которую заложены лишь правила 1 и 4, то принцип Крейга и законы Фергюссона продолжают выполняться и в этом случае. Таким образом, если бы мы вместо правила 2 воспользовались правилом 4, то для большинства задач, о которых шла речь в двух предыдущих главах, мы вполне могли бы получить альтернативные решения. (Понятно ли читателю, как все это можно сделать? Если нет, то можно обратиться к приведенным далее пояснениям.)
Я мог бы рассказать еще о многом, но лучше, пожалуй, будет сформулировать мои основные замечания в виде трех теорем.
Теорема 1. Закон Мак-Каллоха (который, как известно, гласит, что при любом А существует некое число X, которое порождает число АХ) оказывается справедливым не только для машин, подчиняющихся правилам 1 и 2, но и для машин, подчиняющихся правилам 1 и 4.
Теорема 2. Любая машина, которая подчиняется закону Мак-Каллоха, подчиняется также и двум принципам Крейга.
Теорема 3. Любая машина, которая подчиняется одновременно второму принципу Крейга и правилу 1, должна подчиняться также и всем законам Фергюссона.
Не сообразит ли читатель, как доказать все эти теоремы?