Для решения приведенных ниже задач могут понадобиться некоторые сведения о целых числах. Напомним, что деление числа n на число m с остатком означает нахождение частного q и остатка r, для которых выполнены условия
n = qm + r, 0≤r Если r = 0, то говорят, что число n делится на m или кратно m. Мы будем разрешать деление не только положительных чисел, но и любых целых чисел вообще - при этом число q, возможно, будет отрицательным или нулем. Будем допускать также и деление с недостатком -r, т. е. представление числа в виде
n = qm - r, 0≤r Полезно знать следующие несложные факты (если они вам не известны, то попробуйте доказать их самостоятельно):
а) если два числа отличаются друг от друга на число, кратное m, то остатки от деления этих чисел на m совпадают, и наоборот;
б) сумма двух чисел имеет тот же остаток от деления на m, что и сумма остатков от деления этих чисел на m;
в) произведение двух чисел имеет тот же остаток от деления на m, что и произведение остатков от деления этих чисел на m;
г) если произведение двух чисел, одно из которых взаимно просто с числом m, делится на m, то второе из этих чисел делится на m, и наоборот;
д) если число делится на каждое из двух взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение.
Число, десятичная запись которого состоит из k цифр n>1, n>2, ..., n>k-1, n>k, идущих справа налево, будем обозначать так: n>kn>k-1...n>2n>1. При этом иногда под k-значным числом будем понимать также числа, имеющие на самом деле менее k цифр, не исключая возможности, что некоторые первые цифры числа являются нулями.
Решив предложенные в этом параграфе задачи, вы сможете конструировать свои, новые признаки делимости, а также научитесь использовать свойства делимости для контроля за правильностью арифметических действий.
2.1. Делимость на 5 Сформулируйте и докажите признак делимости на 5. Как найти остаток от деления числа на 5?
2.2. Делимость на 25 Докажите, что данное число делится на 25 в том и только в том случае, если на 25 делится число, полученное из данного отбрасыванием всех его цифр, кроме двух последних. Укажите, какие в этом случае могут быть две последние цифры числа.
2.3. Степени пятерки Сформулируйте и докажите признак делимости на 5>k при k = 1, 2, 3, ...
2.4. Степени двойки Сформулируйте и докажите признак делимости на 2 и вообще на 2>k при k = 1, 2, 3, ...
2.5. Упрощение для 4 Согласно общему признаку делимости на 2>k, чтобы узнать, делится ли данное число на 4, достаточно проверить, делится ли на 4 число, полученное из данного отбрасыванием всех его цифр, кроме двух последних.