Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 31
Если в цепной дроби (см. задачу 5.7), начиная с конца, последовательно произвести указанные в ней операции по правилам действий с дробями, то в итоге получится обыкновенная дробь, разумеется, равная исходной.
Докажите, что полученная таким образом дробь будет несократимой. На основании этого утверждения сократите дробь >155/>93, разложив ее в цепную дробь, а затем свернув в обыкновенную.
5.10. Подходящие дроби Пусть задана цепная дробь с последовательными частными q>1, q>2, ..., q>n (см. задачу 5.7). Выражения
называются подходящими дробями порядка 1, 2, 3, ..., n соответственно. Разложите дробь >13/>29 в цепную дробь и выпишите все подходящие к ней дроби. Обратите каждую из подходящих дробей в обыкновенную.
5.11. Комбинирование сопротивлений
Рис. 4
Из курса физики вам, наверняка, известно, что если соединить несколько сопротивлений R>1, R>2, ..., R>k в электрической цепи последовательно (рис. 4), то общее сопротивление будет равно R>1 + R>2 + ..., + R>k, а если соединить эти же сопротивления параллельно (рис. 5), то общее сопротивление окажется равным
Рис. 5
А теперь представьте, что у вас есть большое количество одинаковых единичных сопротивлений. Можно ли, комбинируя их в электрической цепи специальным образом, составить схему, имеющую сопротивление:
а) >7/>2; б) >10/>7; в) вообще >a/>b?
5.12. Кое-что о подходящих дробях Пусть для заданной цепной дроби с последовательными частными q>1, q>2, ..., q>n несократимые дроби
являются результатами свертывания подходящих дробей порядка 1, 2, ..., n соответственно (см. задачу 5.10). Докажите справедливость соотношений:
5.13. Приближение цепной дроби Между двумя параллельными осями вращения требуется так установить зубчатую передачу, чтобы отношение угловых скоростей вращения было по возможности более близким к числу >355/>113. Один из способов состоит в том, чтобы получить точное значение указанного отношения, поместив на одной оси шестеренку с 355 зубьями, а на другой - со 113 зубьями. Нельзя ли подобрать две шестеренки имеющие меньше 25 зубьев каждая, обеспечив при этом абсолютную погрешность, не превышающую 0,002?
Решения
5.1. а) Так как 36 = 2>2*3>2 и 20 = 2>2*5, то (36, 20) = 2>2 = 4.
б) Так как 1365 = 3*5*7*13 и 1225 = 5>2*7>2, то (1365, 1225) = 5*7 = 35.
в) Так как 1189 = 29*41 и 589 = 19*31, то (1189, 589) = 1.
5.2. Докажем, что все общие делители пары чисел а и b являются общими делителями пары чисел b и r и, наоборот, все общие делители пары чисел b и r являются общими делителями пары чисел а и b. Тогда и наибольшие общие делители обеих пар будут совпадать.