Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 34

Рис. 6

а) Соединив параллельно два единичных сопротивления, получим сопротивление ^>1/_>2. Присоединив к нему последовательно еще три единичных сопротивления, мы получим сопротивление

(рис. 6).

б) С учетом разложения

требуемое сопротивление можно получить следующим образом: соединим последовательно одно единичное сопротивление и блок, в котором параллельно соединены три сопротивления - два единичных и блок из трех последовательных единичных сопротивлений (рис. 7). Тогда сопротивление второго блока будет равно 3, а первого - будет равно Общее же сопротивление как раз и будет составлять ^>10/_>7.

Рис. 7

в) Пусть дробь ^>a/_>b разложена в цепную дробь (см. задачу 5.7)

Тогда соединим последовательно q_>1 единичных сопротивлений и первый блок, в котором соединим параллельно q_>2 единичных сопротивлений и второй блок, в котором соединим последовательно q_>3 единичных сопротивлений и третий блок и т. д. Так, чередуя последовательное и параллельное соединения при составлении каждого последующего блока, мы на предпоследнем шаге соединим последовательно или параллельно q_>n-1 единичных сопротивлений и (n-1)-й блок, в котором соединим, наоборот, параллельно или последовательно q_>n единичных сопротивлений. Всего нам понадобится q_>1 + q_>2 + ... + q_>n сопротивлений, что, как правило, меньше, чем a*b.

Докажем, что полученная схема имеет сопротивление ^>a/_>b. Если мы временно отсоединим от цепи весь первый блок, то сопротивление будет равно q_>1, т. е. первой подходящей дроби к данной цепной дроби. Если временно отсоединим от цепи не первый, а второй блок, то сопротивление неполного первого блока будет равно ^>1/_>q>2 и общее сопротивление будет равно

т. е. второй подходящей дроби. Если отсоединим от цепи не второй, а третий блок, то сопротивление неполного второго блока будет равно q_>3, первого -

и общее сопротивление будет равно третьей подходящей дроби. Продолжая эти рассуждения до конца, мы придем к тому, что если отсоединить только (n-1)-й блок, то общее сопротивление будет равно (n-1)-й подходящей дроби. Наконец, если ничего не отсоединять, то общее сопротивление будет равно последней подходящей дроби, т. е. самой цепной дроби, равной ^>a/_>b.

5.12. а) Так как

- несократимая дробь, то P_>1 = q_>1, Q_>1 = 1. Так как - несократимая дробь, то P_>2 = q_>1q_>2 + 1, Q_>2 = q_>2. Для k = 3 получаем

откуда имеем Р_>3 = Р_>2q_>3 + Р_>1, Q_>3 = Q_>2q_>3 + Q_>1, т. е. при k = 3 формулы справедливы, Пусть они уже доказаны для значения k-1:

Тогда, заменяя q_>k-1 выражением

мы из дроби получим k-ю подходящую дробь

откуда имеем P_>k = Р_>k-1q_>k + Р_>k-2, Q_>k = Q_>k-1