Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 66

Рис. 30

12.6. Отразив симметрично относительно канала данный населенный пункт А, мы получим точку В, из которой достаточно теперь опустить перпендикуляр ВС к магистрали, пересекающий канал в искомой точке D (рис. 31). Для доказательства того, что кратчайший маршрут от точки А к каналу, а затем к магистрали представляет собой ломаную ADC, заметим следующее: от любой другой точки Е канала сумма расстояний до точки A и до канала будет равна сумме расстояний до точки В и до канала, которая в свою очередь будет превосходить величину BC = AD + DC.

Рис. 31

12.7. Один из двух населенных пунктов A или В, например В, перенесем мысленно по направлению к каналу на расстояние, равное ширине канала (рис. 32). Полученную точку С соединим отрезком с точкой A, тогда точка D пересечения этого отрезка с берегом канала, ближайшим к точке A, как раз и даст один из концов моста DE. Докажем, что маршрут ADEB будет кратчайшим из всех возможных. Действительно, для любого другого расположения моста FG (точка F не совпадает с точкой D, но лежит на том же берегу) имеем

т. е. другой маршрут получается только длиннее.

Рис. 32

12.8. Если проекции населенных пунктов A и B на линию железной дороги удалены друг от друга менее, чем на длину платформы, то саму платформу достаточно разместить так, чтобы обе проекции оказались на ней (сумма расстояний до платформы не может быть меньше, чем сумма расстояний до железной дороги, и этот минимум как раз реализуется в данном случае).

Если же указанные проекции удалены друг от друга более, чем на длину платформы, то сама платформа должна располагаться между этими проекциями (в противном случае ее можно передвинуть так, чтобы сумма расстояний от нее до пунктов А я В была еще меньше). Перенесем точку В на длину платформы вдоль железной дороги в сторону сближения с точкой А (рис. 33). Для полученной точки С выберем на железной дороге точку D, для которой сумма AD+CD минимальна (см. задачу 12.5). Эта точка D и будет представлять собой ближайший к точке А край платформы. Докажем, что расположение платформы DE удовлетворяет условию задачи. Действительно, для любого другого расположения FG (край F считаем ближайшим к А) платформы имеем

что и требовалось доказать.

Рис. 33

12.9. Любой (не обязательно кратчайший) маршрут разобьем на три участка: от первого населенного пункта А к точке В одной магистрали, от точки В до точки С другой магистрали и от точки С до населенного пункта D (рис. 34).