Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 65

т. е. хорда АВ короче любой другой хорды, проходящей через точку!).

Рис. 27

12.2. Завод нужно построить в точке Е пересечения диагоналей четырехугольника ABCD с вершинами в данных населенных пунктах (рис. 28). Докажем, что сумма расстояний от всех четырех пунктов А, В, С, D до любой точки F больше, чем до точки Е. Действительно, складывая неравенства

получаем неравенство AC + BD≤AF + BF + CF + DF, в котором равенство возможно только в случае, когда точка F лежит на обеих диагоналях АС и BD, т. е. когда F совпадает с Е. Именно это и требовалось доказать.

Рис. 28

12.3. Киоск нужно установить в любой точке, по обе стороны от которой расположено одинаковое количество домов (рис. 29). Если общее число домов нечетно, а сами дома находятся, скажем, в точках А_>1, А_>2, ..., A_>k, О, B_>k, ..., В_>2, B_>1, то киоск нужно поставить у дома О. Если же общее число домов четно, а сами дома находятся в точках А_>1, А_>2, ..., A_>k, B_>k, ..., В_>2, B_>1, то киоск можно поставить в любой точке О между домами A_>k и B_>k. Действительно, общая сумма расстояний от киоска до всех домов складывается из расстояния от киоска до среднего дома О (если таковой имеется) и сумм расстояний от киоска до каждой пары домов A_>i и B_>i, где i = 1, ..., k. При этом любая из указанных сумм не превосходит соответственно величины A_>iB_>i а равна ей тогда и только тогда, когда киоск находится между домами A_>i, B_>i. Таким образом, необходимым и достаточным условием минимальности общей суммы является принадлежность точки установки киоска каждому из отрезков А_>1В_>1, A_>2В_>2, ..., A_>kB_>k и, кроме того, совпадение этой точки с точкой О среднего дома, если число домов нечетно.

Рис. 29

12.4. Школу следует построить в том из населенных пунктов А или В, в котором живет больше детей. Действительно, пусть для определенности таким пунктом является пункт А. Тогда если школа расположена в некоторой точке О, то затраты на перевозку детей пропорциональны величине

которая не может быть меньше, чем b*АВ, так как а>b, ОА≥0 и ОА + ОВ≥АВ. С другой стороны, указанная величина принимает как раз значение b*АВ, но только в единственном случае - когда точка О совпадает с точкой А.

12.5. Один из двух населенных пунктов А или В, например В, отразим симметрично относительно канала (точнее, относительно его ближайшего берега). Если мы соединим отрезком полученную точку С с точкой A, то точка D пересечения этого отрезка с каналом и будет искомой точкой расположения водонапорной башни (рис. 30). В самом деле, для любой другой точки Е на том же берегу канала суммарная длина труб до точек A и В будет равна суммарной длине труб до точек A и С (в силу симметрии относительно канала имеем равенства