Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 92

Рис. 68

16.2. Для того чтобы отразить узел А симметрично относительно узла Е, достаточно сосчитать по клеточкам длину горизонтальной проекции AF отрезка АЕ и длину вертикальной проекции FE этого же отрезка. После этого останется отложить от точки Е в вертикальном направлении точку G и от нее в горизонтальном направлении точку В так, чтобы выполнялись равенства

(рис. 67). Симметричность точек А и В относительно точки Е вытекает из равенства прямоугольных треугольников AFE и BGE (по двум катетам). Из построения ясно, что точка Е обязательно является узлом сетки.

16.3. Как и в задаче 16.1, ситуация сильно упрощается, если хотя бы одна из проекций данного отрезка АВ положительна и кратна заданному числу n. В этом случае достаточно найти точки пересечения отрезка с линиями сетки, делящими указанную проекцию на n равных частей. Таким способом можно разделить отрезок АВ, изображенный на рис. 69, как на 5, так и на 7 равных частей. Но вот для деления того же отрезка, скажем, на n = 6 равных частей одних лишь линий сетки не хватает. Для этого можно поступить следующим образом: отложим от точки А в одном направлении на равных расстояниях друг от друга точки А_>1, А_>2 ... A_>n-1 (на рис. 69 точки А_>1, ... A_>n расположены в подряд идущих узлах сетки), а от точки В в противоположном направлении на тех же расстояниях друг от друга точки B_>1, B_>2 ... B_>n-1 (на рис. 69 это точки B_>1, ... B_>5). Соединив прямыми линиями попарно А_>1 и В_>n-1, A_>2 и В_>n-2, ..., A_>n-1 и B_>1, мы разделим этими прямыми отрезок AВ на n равных частей, поскольку все полуденные прямые параллельны, так как являются сторонами соответствующих параллелограммов) и отстоят друг от друга на равных расстояниях.

Рис. 69

16.4. Пользуясь методами, изложенными в решении задачи 16.1, можно построить середины сторон треугольника АВС, а затем провести его медианы. Точка Е пересечения медиан не обязательно попадает в узел, даже если середины всех трех сторон треугольника являются узлами сетки (рис. 70). Можно доказать, что это попадание произойдет тогда и только тогда, когда сумма горизонтальных, равно как и сумма вертикальных проекций векторов

кратна 3.

Рис. 70

16.5. Сосчитаем по клеточкам длину горизонтальной проекции AE и вертикальной проекции EB вектора

после этого точку С перенесем по горизонтали в точку F, которую затем перенесем по вертикали в точку D так, чтобы выполнялись равенства (рис.71). Тогда из равенства прямоугольных треугольников ABE и CDF и параллельности их соответствующих катетов следует равенство и параллельность их гипотенуз АВ и CD. Таким образом, имеем требуемое равенство