Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 97
Рис. 84
16.23. Каждый из искомых прямоугольных треугольников ABC отличается от других тем, что его высота BD, опущенная на гипотезу АС, имеет целую длину z и делит эту гипотезу на целочисленные отрезки AD и DC (рис. 85). Для начала будем считать, что числа x = AD и y = DC взаимно просты, так как любой простой делитель этих чисел является также и делителем числа z>2 = xy, а значит, числа z (сравните с рассуждениями о пифагоровых тройках в § 7). Если произведение взаимно простых чисел хну есть квадрат какого-то натурального числа z, то и сами числа х и y являются квадратами натуральных чисел. Верной обратное. Поэтому для удовлетворения условия xy = z>2 необходимо и достаточно в данном случае, чтобы выполнялись равенства х = m>2 и y = n>2, где (m, n) = 1. Наконец, если снять требования взаимной простоты чисел хну, то получаются общие формулы для искомых отрезков х, y и высоты z прямоугольного треугольника ABC: х = m>2k, y = n>2k, z = mnk, где k, m, n - произвольные натуральные параметры, причем числа тип взаимно простые. По каждой такой тройке чисел х, y, z теперь без труда строится нужный нам прямоугольный треугольник.
Рис. 85
16.24. Окружность с центром в узле сетки и радиусом 5 проходит, во-первых, через четыре попарно диаметрально противоположных угла сетки, лежащих на линиях, общих с центром окружности. Кроме того, она содержит по одной вершине от каждого из восьми прямоугольных треугольников с катетами 3 и 4, лежащими на линиях сетки, и с гипотенузой 5, один конец которой совпадает с центром окружности. Любая другая окружность указанного вида, содержащая более 4 узлов сетки, должна иметь радиус, равный гипотенузе прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами. Наименьший такой радиус равен 5 (см. задачу 7.7).
16.25. Как было замечено при решении задачи 16.24, число узлов сетки, лежащих на данной окружности с центром в узле и целым радиусом, полностью определяется количеством пифагоровых троек чисел, большее из которых равно радиусу этой окружности. Если таких троек нет, то число узлов равно 4, а если тройка только одна, то число узлов равно 8, и вообще каждая очередная тройка порождает 8 дополнительных узлов (именно 8, а не 4, поскольку меньшие числа пифагоровой тройки обязательно различны). Так как наименьшее число, участвующее в качестве большего числа сразу в двух пифагоровых тройках, равно 25 (см. решение задачи 7.7, где указаны, в частности, тройки 15, 20, 25 и 7, 24, 25), то искомый наименьший радиус окружности указанного вида, содержащей более 12 узлов сетки, равен как раз 25. Эта окружность проходит сразу через 20 узлов сетки. Ее четверть изображена на рис. 86.