118. Три поросенка катаются с горки
Начнем со второго вопроса – ответить на него поможет закон сохранения механической энергии. Поскольку горка ледяная, а санки специально подготовлены к таким соревнованиям, мы можем считать, что трение между санками и поверхностью горки очень маленькое, так что на него при рассуждениях можно не обращать внимания. Тогда потенциальная энергия mgh, которой каждый поросенок вместе со своими санками обладал на старте в верхней части горки, перейдет в кинетическую энергию mv>2/2 у финиша. И та, и другая энергия пропорциональны массе, следовательно, соотношение между ними от массы не зависит: gh = v>2/2. Другими словами, скорость у финиша зависит от высоты, с которой скатываются поросята, но не зависит ни от массы поросенка и санок, ни от формы склона горы. А поскольку все три поросенка скатываются с одной и той же высоты, к финишу все приедут с одинаковой скоростью!
Но одинаковая скорость на финише еще не означает, что поросята затратят одинаковое время на спуск – ведь скорость меняется во время спуска, причем меняется по-разному. Ниф-Ниф набирает скорость на старте медленнее, чем Нуф-Нуф, а Нуф-Нуф, в свою очередь, медленнее, чем Наф-Наф. При этом Ниф-Нифу придется проехать еще и более длинный путь, потому что дуга длиннее прямой, поэтому он совершенно точно отстанет от прочих. Наф-Наф тоже проедет более длинный путь, чем Нуф-Нуф, но быстрый набор скорости вначале может позволить ему опередить своих соперников: если дуга не очень сильно прогибается вниз, то ее длина почти не отличается от длины прямой, а средняя скорость будет выше.
Можно дать математически совершенно точный ответ на вопрос, какой формы должна быть идеальная горка, то есть горка, которая быстрее всего приводит из точки A в точку B, однако для этого нужен уже серьезный математический инструментарий. Кривая, которая получается при таком расчете, называется брахистохроной. Она позволяет поставить рекорд в этих соревнованиях – и всем троим поросятам до него еще далеко.
119. Туда и обратно
Поскольку трасса одна и та же и начальная скорость одна и та же, на первый взгляд кажется, что разницы во времени быть не должно.
Однако сопоставим участки AC и ZX. Их длина одинакова, но в первом случае Бильбо съезжает в ямку, его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая энергия и скорость возрастают, а во втором случае – въезжает на горку, так что его потенциальная энергия увеличивается за счет кинетической, так что Бильбо теряет в скорости. Следовательно, середину участка AC он проезжает с большей скоростью, чем середину участка