Теорема Ролля и теорема о среднем значении: «Последняя усмешка кривой» (гл. XIII); «Пахлава исполинских размеров» (гл. XXVI)
Хотя в главе XIII упоминается теорема Ролля, она по большей части представляет собой еще один случай оптимизации. Глава XXVI знакомит с теоремой о среднем значении одновременно для производных и интегралов; к концу в ней также обсуждается (на самом деле высмеивается) теорема о промежуточном значении. Уверен, что эта неразбериха будет раздражать добросердечных учителей, старающихся придерживаться традиционной последовательности, но такова моя точка зрения: обычный порядок изложения – это только один из возможных подходов к данному материалу, причем подход, который отдает предпочтение нарушающему исторический ход событий понятию математической строгости.
Честно говоря, не уверен, как я поступлю, когда в следующий раз буду давать этот материал. Но я планирую подчеркнуть, что теорема о среднем значении, теорема о промежуточном значении и тому подобное заняли центральное место только после работы Фурье, поднявшей значительные вопросы о сходимости и, таким образом, создавшей интеллектуальную необходимость, которую могла бы удовлетворить математическая строгость дельты и эпсилона.
Дифференциальные уравнения: «Биография массового увлечения, у которой нет автора» (гл. VII)
Глава затрагивает несколько тем, которые заслуживают отдельного внимания: (1) экспоненциальный рост; (2) точки перегиба кривой; (3) дифференциальные уравнения. Увы, в учебном расписании эти темы часто разделяются месяцами или даже целыми семестрами, что делает эту главу довольно неудобной. Ах да, еще она показывает, что выпущенная на свободу математика не признает национальных границ.
Определение интеграла: «В литературных кругах» (гл. XVI); «Война, мир и интегралы» (гл. XVII); «Если страдание должно прийти» (гл. XXIII)
По сравнению с производной я нахожу интегралы более коварными и неуловимыми. Фраза «область под кривой» мне кажется более ограниченной и менее честной, чем «мгновенное изменение скорости».
Таким образом, после главы XVI проходит подготовительная работа, главы XVII и XXIII исследуют некий неопределенный, метафорический интеграл. Это не слишком поможет вам справиться с домашним заданием, но, возможно, послужит абстрактным краеугольным камнем. Я считаю, что геометрические свойства интеграла, то есть то, что ∫>a>b f(x) dx + ∫>b>c g(x) dx = ∫>a>c f(x) dx, в таких условиях проявляются достаточно легко.
Сумма Римана: «Линия городского горизонта Римана» (гл. XVIII)
Как учитель я подозреваю, что лучший подход к суммам Римана – очень тщательно рассчитать одну или две из них, а потом изъять их из обращения. Механизм среднеквадратичного отклонения сложен для понимания, особенно если алгебра у вас слегка хромает. Неудобство подхода заставляет искать способы обойти острые углы, что в итоге выливается в славную форму фундаментальной теоремы.