Время переменных. Математический анализ в безумном мире (Орлин) - страница 110
Наглядная иллюстрация: когда я впервые преподавал математический анализ, я был потрясен, обнаружив, что объем сферы (4/3 πr>3), дифференцированный по радиусу, дает ее площадь (4 πr>2). Каким образом получилось такое невероятное совпадение? В конце концов я увидел логику: дополнительное приращение радиуса добавляет к объему крошечный внешний слой, фактически равный площади поверхности. Тот факт, который я раньше воспринимал как чисто алгебраический, теперь ощущается глубоко связанным с геометрией благодаря решающему фактору – принять dx и однотипные выражения как (временно) значимые величины.
Кинематика: «Вечно падающая Луна» (гл. II), «Радости полета бутерброда» (гл. III), «Танцы с пылью» (гл. IX)
В некотором роде каноническая производная – это
Глава о броуновском движении (гл. IX) – хорошая иллюстрация этому. Понятие дифференцируемости, если брать его абстрактно, весьма трудноуловимо. Зачем нам вообще волноваться о том, что можно дифференцировать, а что нельзя? Но в контексте кинематики «недифференцируемый» означает просто «не имеющий скорости», что передает истинную странность поведения.
Кстати, в главе III Джеймс рассуждает о том, что, если бы друзья знали все производные его счастья в данный конкретный момент, они могли бы экстраполировать траекторию счастья всей его жизни. Это предположение предугадывает существование рядов Тейлора, где в одной точке производной скрывается вся история функции.
Линейная аппроксимация: «Когда Миссисипи текла на миллион миль» (гл. V)
Несколько авторов, в том числе и Джордан Элленберг, убедили меня в том, что «линеаризация» – ключевое слово математического анализа. Я также хочу признаться, что впервые наткнулся на абзацы из Твена в великолепной книге Элленберга «Как не ошибаться».
Оптимизация: «Универсальный язык» (гл. IV); «Принцесса с городской окраины» (гл. XI); «Земля, опустевшая из-за скрепок» (гл. XII); «Это твой пес-профессор» (гл. XIV)
Благодаря вашему проницательному взгляду вы могли заметить, что я посвятил оптимизации четыре главы и жалкие несколько абзацев (в гл. XIV) – относительной скорости. Здесь я прошу прощения у всех ревнителей относительной скорости: я просто не нашел хороших историй о ней. А за особое внимание к оптимизации, которая является побудительной силой математического анализа, я извиняться нисколько не буду.