Время переменных. Математический анализ в безумном мире (Орлин) - страница 27

Эта основная модель, которая называется логистической кривой, – одна из величайших математических моделей, не говоря уж о том, что она является триумфом элементарного математического анализа. И, как и любая классическая пьеса, она разыгрывается в трех актах.

Акт I. Ускорение.

Когда мы что-то начинаем, наше увлечение еще не является модным веянием. Это всего лишь дикая прихоть. «Я буду продавать камень как питомца», – говорит какой-то сумасшедший. «Я поставлю танец с необычными движениями рук, и весь мир будет восторженно кричать: “Эй, макарена!”» Или даже: «Я введу в компьютер странички с фотографиями лиц и стану тем самым Цукербергом, Разрушителем миров».

Звучит как иллюзорная мечта? Возможно. Но вначале рост идет медленно.

Но дела обстоят не так безрадостно, как кажется. Во время неблагоприятного начала рост на самом деле идет по экспоненте.

Слова «экспонента» или «экспоненциальный» проникли в обычный язык, как некоторые другие математические термины. («Внутреннее произведение» и «двудольный граф» все еще пребывают в трагическом забвении.) Тем не менее, как это всегда бывает, когда альтернативная рок-группа добивается успеха, по пути кое-что утрачивается. Об экспоненциальном росте обычно говорят как о синониме «очень быстрого», но его математическое значение гораздо более чудесно и точно: величина растет пропорционально своему размеру.

Другими словами, чем она больше, тем быстрее растет.

При линейном росте за каждый период времени прибавляется одно и то же количество. Это может происходить медленно, как прибавление одного кольца к стволу дерева каждый год. Или это может быть быстро, как рост мутантного дерева в сказке о Джеке и бобовом зернышке, когда каждое новое кольцо прибавлялось за миллисекунду. Важна не скорость, а постоянство. Если темп роста никогда не меняется, то он является линейным.

В противовес этому возьмем, к примеру, стартап, чья прибыль растет на 8 % каждый месяц. Поначалу 8 % от мизерного количества – это сущая безделица. Но со временем компания расширяется, и эти 8 % соответствуют все большим и большим цифрам. За девять месяцев доход удваивается, а за десять лет фирма превращается из гусеницы с выручкой в $1000 в месяц в огромную бабочку с прибылью в $8 млн в месяц. Дайте ей еще десять лет, и она станет громадиной с ежемесячным доходом в $1 трлн – 15 % мирового ВВП. Вот это и есть экспоненциальный рост.

Вы можете уловить суть этого различия по двум коротким уравнениям:

Но медовый месяц с экспонентой не может длиться вечно, иначе любое массовое увлечение захватило бы всю Вселенную. В реальности подобное пока что случалось только дважды: с крупяными куклами