Время переменных. Математический анализ в безумном мире (Орлин) - страница 28

Как и «экспоненциальный рост», выражение «точка перегиба кривой» перекочевало в обычный язык из учебников математики. Я сам всегда аплодирую вирусному распространению математического жаргона, но должен отметить, что фраза: «момент, когда рост неожиданно становится взрывным» – придает точке перегиба кривой почти противоположное значение.

При росте по логистической кривой перегиб происходит не в момент, когда начинается быстрый рост. Он происходит, когда быстрый рост доходит до кульминации, до своего максимума, и, таким образом, начинается долгое, медленное понижение.

Производная, как вы помните, говорит нам об изменениях графика. Положительная производная? Он растет. Отрицательная? Снижается.

Вторая производная говорит нам о том, как меняется первая производная – то есть о самом темпе роста. Положительная вторая производная? Тогда наш рост ускоряется. Отрицательная вторая производная? Он замедляется.

Точка перегиба кривой – это момент перехода, когда вторая производная меняет знак: отрицательный на положительный или (при росте по логистической кривой) положительный на отрицательный. После того как скорость растет и растет, как у потерявшего управление поезда или заигранного хита, ускорение, наконец, останавливается, и рост начинает замедляться.

Это особый момент в истории массовых увлечений – триумф с привкусом горечи, поскольку все вершины достигнуты. В случае, скажем, с Instagram – это месяц, когда к нему присоединилось наибольшее количество пользователей. Социальная сеть еще не получила свое самое широкое распространение, но пик самого быстрого распространения пройден. Она расширялась быстрее, чем когда-либо ранее, и такого роста не будет уже никогда. Согласно графику то, что произойдет дальше, – это зеркальное отражение первоначальной траектории: каждому моменту ускорения теперь соответствует спад.

Это приводит нас к акту III – Насыщение.

В этот момент массовое увлечение перерастает свою крутизну. О нем знают родители. О нем знают даже бабушки и дедушки. Даже те, кто не в курсе модных тенденций популярной культуры – например, учителя математики, – могут решить присоединиться к стороне победителя. Чувство гордости первых адептов этого веяния сменяется теперь пренебрежением. Как подметил король парадокса Йоги Берра, «в этот ресторан больше никто никогда не ходит, потому что он всегда переполнен».

При экспоненциальной модели рост пропорционален размеру. Рост по логистической кривой добавляет еще один очень важный момент: рост пропорционален размеру, а также