Время переменных. Математический анализ в безумном мире (Орлин) - страница 32
Парадокс Брайанны далеко не единственный. Другой вариант начинается с равностороннего треугольника. Если предполагать, что все три стороны равны, то путь по красным линиям в два раза дольше, чем по черной.
Далее возьмем две красные стороны, разделим каждую из них пополам, и, таким образом, наш путь вверх и вниз превратится в вверх-вниз-вверх-и-вниз.
Длина красной части не изменилась: мы просто перераспределили участки. Таким образом, они по-прежнему равны удвоенной длине черной стороны. И мы можем повторять и повторять этот процесс – делить и перераспределять, делить и перераспределять, а красный участок будет оставаться равным двум черным на всех этапах.
Если мы будем повторять деление бесконечное количество раз, то первоначальная красная треугольная «палатка» превратится в прямую линию из пылинок, неотличимую от черной. Но… не привело ли это к тому, что путь вырос в два раза?
Исследователям потребовались столетия ложных шагов и осечек, чтобы разобраться с этой проблемой. «Чтение трудов математиков этого периода, – пишет профессор Уильям Данхэм, – напоминает прослушивание произведений Шопена, которые исполняются на пианино, где несколько клавиш расстроены: в один момент можно оценить гениальность музыки, а в другой она режет слух».
Ставящая в тупик правда – она сбивает с толку не меньше, чем несомненная простота этой проблемы, – состоит в том, что не ко всему можно применять предельный переход.
Возьмем последовательность 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999… На каждом этапе мы получаем дробь – нецелое число. Но каким-то образом на вымощенной желтым кирпичом дороге к бесконечности последовательность превращается в единицу.
Означает ли это, что единица не является целым числом? Черт побери, нет! Это просто значит, что конечная точка движения не обязательно должна напоминать путь, который привел вас к ней. Деревянные ступеньки могут привести к лестничной площадке, покрытой ковром.
Вот пример, который моя жена приводит на первых занятиях по математическому анализу: треугольная волна, двигающаяся через плоскость вдоль оси х.
Каждая точка в какой-то момент является нулем, затем на короткий период времени, во время прохождения волны, она не равна нулю, затем это снова нуль, навеки и даже дольше. Каждая точка, таким образом, рано или поздно приближается к нулевой отметке. Это означает, что пределом всего сценария является горизонтальная линия, ось х.
Но что происходит с волной? Не стирает ли ее предел с лица земли, как нейтронная бомба?
Одним словом, да. Пределы могут это сделать.
В действительности вы никогда не «достигнете» предела. Приблизиться к нему вы, конечно, можете – так близко, что почувствуете его запах, его боль, но коснуться его не удастся. Прыжок к пределу – это трансцендентальный акт, это сродни переходу к смерти: скачок от подвластного времени тела к существующей вне времени душе. Почему любая принадлежащая нам вещь должна пережить это путешествие? У наc есть волосы и зубы, но разве мы ожидаем, что после смерти будем существовать в виде волосатых и зубастых духов?