Время переменных. Математический анализ в безумном мире (Орлин) - страница 31
шаги по этой лестнице и у нас получится такая форма?
Я нахмурился. Это теорема Пифагора, самое старое правило практически в любом учебнике: a>2 + b>2 = c>2. В этом случае если а = 3, а b = 4, то с = 5. Я так и сказал.
– Пять. Да, точно. – Брайанна наставила на меня карандаш, как микрофон. – А что здесь происходит?
В гостиной находятся следующие люди: (1) муж Брайанны Тайлер, в прошлом преподаватель математического анализа, а ныне предприниматель в сфере интеллектуального анализа данных, (2) моя жена Тарин, математик-исследователь, и (3) я, человек, который пишет книгу о математике. На троих у нас более 40 лет изучения математики и научные степени, полученные в Массачусетском технологическом институте, Калифорнийском университете в Беркли и Йеле. Мы все знаем всё о пределах и сходимости бесконечного ряда, о геометрии аппроксимации. Мы знаем, что семь не равно пяти.
Но перед этой задачей мы теряемся. Я чувствую себя так, словно мироздание меня одурачило – подкралось со спины и хлопнуло по левому плечу, чтобы я посмотрел не в том направлении. Я, кажется, слышу его хихиканье. Или это просто шум ветра.
– Неравномерная сходимость? – таинственно бормочет Тарин под нос.
– Нет четких пределов, – говорит Тайлер несколько неуверенно.
У меня самого в голове крутится несколько возможных опровержений в пику мирозданию, но ни одно из них ни капельки ничего не проясняет и не объясняет.
Все, что я могу сказать:
– Ух!
Загадка Брайанны нацелена в самое сердце математического анализа, в основополагающее философское понятие под названием предел. Предел – это конечный пункт назначения бесконечного процесса. Вы не обязательно достигнете предела: вы подходите к нему все ближе и ближе – ближе, чем это можно описать или вообразить. Брайанна в своей загадке установила по-настоящему «скользкий» предел. Он неким парадоксальным образом указывает сразу в двух направлениях. На каждом этапе длина равняется семи, а потом каким-то образом в самом конце вечности она становится пятью.
Подобные парадоксы давно одолевают математический анализ. Поколение спустя после того, как Готфрид Лейбниц и Исаак Ньютон впервые разработали эту часть математики, Джордж Беркли устраивал им трепку за небрежный образ мыслей. Ньютон требовал пристально изучать значения не до того, как они исчезнут (когда они все еще являются конечными числами), не после этого (когда они равны нулю), но когда они исчезают. Что он имел в виду?
«А что это за… исчезающие бесконечно малые? – глумился Беркли. – Они не являются ни конечными, ни бесконечно малыми величинами, ни даже ничем. Может быть, мы не будем называть их призраками былых величин?»