Время переменных. Математический анализ в безумном мире (Орлин) - страница 55

Каким же образом конкретное значение уступает чистой абстракции? Наберитесь храбрости, и я вам это покажу.

Начнем с дружелюбной физиономии прямоугольника со сторонами А и В. Его площадь является произведением этих сторон АВ.

Теперь представим, что его параметры меняются со временем, как у города, год за годом разрастающегося на север и на восток. Ширина (А) растет со скоростью А´, а длина (В) – со скоростью В´.

Вопрос: как быстро увеличивается площадь АВ?

Это математический анализ, то есть мы размышляем об отдельно взятом моменте. В это летучее мгновение ширина увеличивается на бесконечно малую величину (которую мы можем назвать dA или А´), и длина делает то же самое (соответственно, при этом получается dB или В´).

Мы можем разделить эту зону роста на три части: (1) длинная тонкая полоса справа, (2) еще одна сверху и (3) крошечный квадратик. Этой умилительной третьей частью можно пренебречь по причинам, описанным в главе X; если каждая тонкая полоска имеет толщину человеческого волоса, то квадратик имеет площадь, как у одной-единственной клетки. Мы можем исключить его из наших расчетов.

Теперь определим, насколько велики две оставшиеся зоны роста. С рисунком это очень просто: одна – произведение А´ на В, а другая – В´ на А.

Таким образом, размер зоны роста – это сумма площадей двух полосок.

Пока что все идет хорошо? Ну так пришло время забыть обо всем. Забудьте прямоугольник и полоски роста. Забудьте сопутствующие факторы, геометрическое значение и логическую цепочку. Забудьте, что мы с вами когда-то встречались, забудьте, что этот прямоугольник вообще существовал. На обесцвеченной поверхности вашей памяти остается только одна, последняя строка символов: (АВ) ´ = А´В + В´А.

Теперь применим ее наугад к тысяче различных сценариев. Применим к x sin (x), к e^>x cos (x) и (х + 7)^>10(3х – 1)^>9. Применим к физике, экономике, биологии и, пока Меркурий в зените, к астрологии. Применим механически и бессмысленно, как робот, который делает свою автоматическую домашнюю работу.

Эта бессмысленная манипуляция, это «перебрасывание символами» – не ошибка математического анализа. Это его особенность.

Матан – система, бюрократическое образование, формализованный свод правил. Посмотрите на само происхождение термина: английское слово calculus происходит от латинского «камешек», указывающего на те камни, которые использовались для счета на абаке. Абак – это средство для расчетов, инструмент для механизации мысли, и это роднит его с математическим анализом.