Время переменных. Математический анализ в безумном мире (Орлин) - страница 93

С помощью этих странных разглагольствований сфера находит способ рассказать о своей природе. Сфера – это стопка бесконечного множества дисков, отличающихся радиусом и чрезвычайно тонких. Понять сферу означает совместить – суммировать – все эти маленькие круги в единое целое.

Сфера – это интеграл окружностей.

Если вы посещали курс математического анализа на первом году обучения, то ранее уже встречались с этим понятием. Это завершающая тема, где лихо закручивается идея трехмерности.

(Предупреждение: если вы чувствительны к укачиванию и плохим каламбурам, обратите внимание на слово «закручивается».)

Для начала возьмите плоскую двухмерную область. Затем раскрутите ее вокруг оси, как жесткий флажок вокруг палки. Пространство, через которое она проходит, оформится в виде трехмерного объекта, называющегося «тело вращения».

Это вращение, как на гончарном круге, превращает двухмерные области в трехмерные объекты, Флатландию – в Трехмерие. Если вы хотите узнать объем созданного нами тела, подход будет очень простым: проанализируйте его как стопку бесконечного количества плоских дисков и объедините их.

Чтобы высчитать объем сферического «злоумышленника», вначале мы должны выбрать подходящую двухмерную область. Какая форма при вращении вокруг своей оси, как цыпленок на вертеле, создаст сферу с диаметром 13 см?

Подключите свой внутренний 3D-принтер, и, думаю, вы обнаружите, что этот фокус проделывает полукруг.

Забавный факт про полуокружности: они полны радиусов. Забавный факт про радиусы: каждый из них является гипотенузой прямоугольного треугольника. Это означает, что координаты каждой точки полуокружности подчиняются теореме Пифагора.

После небольших алгебраических манипуляций, которые я, как и любой рачительный хозяин, замел под ковер, чтобы спрятать из виду, мы получаем соответствующий интеграл. Это будет бесконечное количество бесконечно тонких дисков. Они начинаются с нулевого радиуса, возрастают до радиуса 6,5, а затем снова уменьшаются до нуля. Совсем как сфера, проходящая через Флатландию.

Я снова скрою от вас алгебраические детали и дам вам непосредственно конечный результат. Объем таинственной сферы равен

В двух идущих друг за другом главах мы рассчитывали объем сферы. Возможно, вы заметили общие моменты. Оба метода начинают с того, что задача делится на две части, оба предполагают бесконечное рассечение, в обоих есть забавные картинки. И тем не менее они оставляют совершенно разное послевкусие, не так ли? Я лично предпочитаю доказательство Архимеда. Оно быстрое. Оно здравое. Детали в нем хорошо подогнаны друг к другу. Это работа мастера, это искусность и даже искусство.