Из всех числовых игр с одним участником мне особенно памятна игра в автомобильные номера. Наверное, потому, что в нее научил меня играть Лев Давидович Ландау. Игра заключается в том, чтобы из чисел, входящих в любой четырехзначный автомобильный номер, образовать равенство. Правила игры таковы: можно использовать лишь те арифметические, алгебраические и тригонометрические действия, которые известны из школьной программы; переставлять цифры не разрешается; играть следует в уме. Другими словами, надо получить возможность, вставив между цифрами известные школьникам знаки +, —, ×, :, √, log, cos и т. п., вместо черточки написать знак равенства. Есть номера очень простые. Например, 75—31 (7—5=3—1). Или 38—53 (³√8 = 5—3). А вот номер, который и вовсе «не требует чернил»: 27—33 (27 = 3>3). Но есть номера потруднее. Вот пример трудного номера: 75—33. По-видимому, оба способа «его решения» нетренированному игроку покажутся сложными: 7—5 = log>√33 или 7—5 = 3!/3.
Среди азартных игроков в автомобильные номера часто возникали споры, какие действия можно использовать, а какие нельзя: спорщики плохо знали точные рамки школьной программы. В частности, спорили и о возможности использовать знак факториала «!», с помощью которого часто удавалось построить равенство из неподдающегося, трудного номера.
Лев Давидович в то время, когда рассказал мне об этой игре, играл прекрасно, почти мгновенно решая задачи, возникающие при встрече с каждым автомобилем[54]. Но бывали неподдающиеся случаи. Такой, например: 75—65. Конечно, можно было бы использовать функцию Е(х), равную целой части х, например Е(7 : 5) = Е(6 : 5), но в те годы эту функцию в школе не изучали. Да кроме того, если разрешить пользоваться функцией Е(х), то игра скучнела. Возник вопрос о «теореме существования». «Всегда ли можно „сделать“ равенство из автомобильного номера?» — спросил я у Ландау.
«Нет», — ответил он весьма определенно. «Вы доказали теорему несуществования решения?» — удивился я. «Нет, — убежденно сказал Лев Давидович, — но не все номера у меня получались».
Заразившись игрой в автомобильные номера, я перевез ее в Харьков, где тогда жил, и распространил «заразу» среди молодых математиков. Один из них подошел к задаче серьезно и доказал теорему существования, показав, что, используя заведомо известные из школьной программы функции, любое целое число можно «приравнять» любому другому, так как существует формула сведения от N+1 к N.
Доказательство формулы сведения требует знания одной формулы тригонометрии и умения обращаться с обратными тригонометрическими функциями — «arc…». Действительно: