Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга (Наварро) - страница 24

На первую страницу

Возможно, лучший способ рассказать о числах — это рассмотреть подробно их десятичную запись. Исследуем подробно множество всех десятичных чисел. Вообще говоря, десятичное число вида

34658,124796

является лишь формой записи следующего выражения

3∙10>4 + 4∙10>3 + 6∙10>2 + 5∙10>1 + 8∙10>0 + 1∙10>-1 + 2∙10>-2 + 4∙10>-3 + 7∙10>-4 + 9∙10>-5 + 6∙10>-6

Цифры слева от запятой соответствуют положительным степеням 10, справа от запятой — отрицательным степеням. Вспомним, что

a∙10>-n= a/10>n

Десятичная система счисления — это позиционная система счисления по основанию 10. Это лишь способ записи чисел, но сколь удобный способ! Это поистине великое достижение человечества.


СИМОН СТЕВИН (1548–1620)

Этот голландский ученый родился в бельгийском городе Брюгге. Он был военным инженером, занимался музыкой, физикой, математикой и бухгалтерией. Он вошел в историю как изобретатель двойной бухгалтерской записи, которая в значительной мере способствовала прогрессу в экономике и торговле. Но его вклад в математику еще важнее: в своем труде De Thiende («Десятая») он представил десятичную форму записи чисел. Эта система была слишком сложна, поэтому широкое распространение получили более поздние версии, например вариант, предложенный Джоном Непером,



Страница книги De Thiende, на которой приведен пример десятичной записи Стевина, не слишком удобной для повседневного использования. Единицы обозначаются кружком, обведенным вокруг 0, десятки — другим кружком вокруг 1, сотни — кружком вокруг 2 и так далее.

* * *

Десятичная дробь может быть конечной или бесконечной. Ниже приведен пример для обоих случаев:

1,234567890101112131415161718192021223242526…

127,789564.

Первое число — бесконечная десятичная дробь. Вторая дробь также содержит бесконечное количество знаков после запятой, но в ином виде:

127,789564 = 127,789564000000000000000000…

Фактически мы можем записать число 127,789564 более «сложным» способом:

= 127,789563999999999999999999…

Тем не менее в этих случаях речь идет о конечной десятичной дроби. Простейшие десятичные числа — это натуральные числа (

): они являются положительными и не имеют знаков после запятой. За ними следуют целые числа (
), которые могут быть отрицательными, но также не имеют знаков после запятой. Рациональные числа (
) включают в себя эти множества и имеют любопытную десятичную запись: цифры рационального числа имеют период, то есть некая группа цифр с определенного момента начинает повторяться. Вспомним, что рациональные числа являются дробями, или дробными числами, которые записываются в виде

Следующая страница