Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга (Наварро) - страница 23

/Ь. Если а кратно Ь, то а/Ь обозначают целым числом с, которое равно делению а на Ь без остатка:

а/Ь = с.

Фактически одним и тем же числом могут обозначаться разные дроби:

756/378 = 524/262 = 6/3 = 2.

Однако очевидно, что существуют и другие дроби, которые нельзя выразить целым числом, например 1/2 или 5/3. Существует больше дробных чисел, чем целых, так как всякое целое число можно представить в виде дроби. Имеем

Символ 

означает «строгое включение подмножества». Это своеобразная разновидность знака < для множеств.

Множество дробных чисел обозначается буквой . Можно убедиться, что  является частью . Или же, если так будет удобнее читателю,

Можно было бы ожидать, что кардинальное число 

больше, чем кардинальное число , но вы уже видели, что здравый смысл не всегда применим к бесконечности.

Кантор «пронумеровал» дроби с помощью извилистой линии, изобразив нечто похожее на этот рисунок:

Нет никаких сомнений, что на рисунке помещаются все дроби, так как в каждом ряду содержатся все возможные числители, а в каждом столбце — все возможные знаменатели. Если мы хотим найти число а/Ь, то это очень просто сделать, перейдя к строке а и столбцу Ь. Также не вызывает сомнений, что каждой дроби (иными словами, каждому рациональному числу) соответствует последовательность стрелок, идущая к нему. Поэтому достаточно пронумеровать стрелки (1, 2, 3, 4, 5…), чтобы прийти к результату:

Сделаем еще один шаг. Говорят, что число является алгебраическим, когда оно является корнем многочлена

а_>nх^>n + а_>n-1х^>n-1 +… + а_>1х + а_>0,

все коэффициенты которого (а_>n,а_>n-1…, а_>1, а_>0) являются рациональными числами.

Существует великое множество алгебраических чисел. По сути, любое рациональное число является алгебраическим. Если мы рассмотрим произвольное рациональное число а/Ь, уравнение

х — а/Ь = 0

имеет решение х = а/Ь, а его коэффициенты являются рациональными числами: a_>1 = 1 и а_>0 = — а/Ь.

Существует множество других алгебраических чисел: так, число √2 является иррациональным и является корнем уравнения х^>2 — 2 = 0, то есть удовлетворяет всем необходимым условиям. Алгебраическим также является такое известное число, как золотое число Ф — оно является корнем уравнения х^>2 — х — 1 = 0.

В 1874 году Кантор был еще молод и не страдал от психических расстройств. В одной из своих работ он доказал, что множество алгебраических чисел (будем обозначать его

), включающее все рациональные числа, является счетным множеством. Следовательно,

При этом каждое из этих множеств строго больше последующего:

Мир чисел огромен. Пока что мы видели лишь его часть, которая является счетной.