отличается от второй дроби во втором знаке после запятой.
d отличается от десятичной дроби, которая соответствует третьему числу в списке? Да, поскольку d отличается от третьей дроби во третьем знаке после запятой.
Это же верно и для четвертой, пятой и n-й дробей:
d>n не равно r>n
D отличается от всех десятичных дробей в списке, следовательно, оно не содержится в этом списке. Но разве мы не говорили, что в этом списке содержатся все десятичные дроби? Имеется противоречие с исходным утверждением, которое гласит, что все десятичные дроби пронумерованы и перечислены в списке. В действительности это не так. Это доказывает, что множество всех десятичных дробей не является счетным.
|
| > |
|
* * *
Существует множество иррациональных чисел, начиная с √2 и всевозможных комбинаций корней, например
, и заканчивая универсальными константами, например π. Будет логичным спросить: «Сколько всего иррациональных чисел?»
Обозначим множество всех десятичных дробей , иными словами, объединение рациональных и иррациональных чисел:
Мы знаем, что первое из этих множеств
= {рациональные числа} счетно. Кантор доказал, что множество
не является счетным. Следовательно, множество в правой части равенства также не может быть счетным. В противном случае было бы образовано двумя счетными множествами, следовательно, оно также должно было быть счетным.Наконец-то мы нашли нечто неисчислимое — множество , элементы которого нельзя сосчитать. Следовательно, это бесконечное множество, бесспорно, больше всех бесконечных множеств, о которых мы говорили до этого.
Множество
известно как множество вещественных чисел.В простейшей теории множеств, которую сегодня изучают в школах, вышеизложенное обычно изображают с помощью диаграмм:
Множества
, и , содержащиеся в , являются счетными, в то время как таковым не является. Можно сказать, пусть и немного неточно, что почти все числа являются иррациональными, за исключением рациональных, образующих меньшую бесконечность, которая является счетной. Число π является иррациональным, что доказал Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777) в 1760-е годы. Следовательно, оно принадлежит к несчетному большинству, куда также входят почти все десятичные дроби. С этой точки зрения π не является каким-то необычным. Кроме того, что оно иррационально, оно также является вещественным, как почти все остальные числа.
Алгебраические и трансцендентные числа
Ранее мы говорили об алгебраических числах. Вспомним, что
1) алгебраическими числами называются числа, которые являются корнями уравнения
а>nх