Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга (Наварро) - страница 27

х^>n + а_>n-1х^>n-1 +… + а_>1х + а_>0 = 0,

где а_>n, а_>n-1…., а_>1, a_>0 — рациональные числа;

2) алгебраические числа образуют счетное бесконечное множество.

Почему мы снова вспомнили о них? Причина в том, что во всех геометрических построениях используются лишь циркуль и линейка, причем конечное число раз.

Таковы своеобразные «правила игры», и таким достаточно простым способом строятся ничем не примечательные отрезки.

Тот факт, что древние греки использовали для построений только циркуль и линейку, привел к появлению особых отрезков (и, как следствие, чисел), которые, в отличие от остальных, можно построить (иногда их называют построимыми числами). Возьмем в качестве примера обычное число √2. Это число можно построить с помощью циркуля и линейки, как показано на рисунке:

Это первое иррациональное число, с которым встретились древние греки. Именно это число дало название иррациональным числам. Это число также является алгебраическим и его можно построить. Как мы уже говорили, √2 является корнем уравнения второй степени х^>2 — 2 = 0.

Все числа, которые можно построить, являются алгебраическими. Рассмотрим, почему это так. Если говорить о построениях с помощью циркуля и линейки, то максимум, что мы можем построить, — это числа вида

x_>1 = a_>0 + b_>0√x_>0,

где a_>0, b_>0 и x_>0 — рациональные. Опустим доказательство этого утверждения: оно несложное, но очень громоздкое. Число является алгебраическим, так как является решением квадратного уравнения с рациональными коэффициентами, а именно

х^>2 — 2а_>0х + а_>0^>2 — Ь_>0^>2х_>0 = 0.

Это уравнение с рациональными коэффициентами: числа 1, -2a_>0 и -Ь^>2х_>0 принадлежат . Все числа, подобные x_>0, образуют так называемое поле, обозначаемое К_>0 и удовлетворяющее условию

Иными словами,  является подмножеством K_>0.  и K_>0 образованы построимыми числами, но содержат только алгебраические числа. K_>0 больше, чем , и включает его. Все числа K_>0 являются алгебраическими, некоторые из них рациональные (те, что принадлежат ), другие — нет (те, что принадлежат K_>0 и не принадлежат

Выберем для построения

x_>2 = a_>1 + b_>1√x_>1,

где a_>1, b_>1 и x_>1 принадлежат K_>0, и тем самым образуем еще большее поле:

также образованное алгебраическими числами, которые можно построить. Очевидно, что можно сформировать любое количество полей К_>n:

В целом геометрические фигуры, в которых содержатся эти числа, описываются уравнениями второй степени (квадратными уравнениями). Они могут существенно различаться, но результатом построений все равно будут алгебраические числа.

Благодаря так называемой аналитической геометрии, изобретенной Рене Декартом в XVII веке, любое геометрическое построение можно описать уравнением второй степени. Сложное построение может описываться цепочкой уравнений второй степени, вложенных друг в друга.