Фейнмановские лекции по физике 2 (Фейнман) - страница 13
где второй член и выражает рост массы за счет повышения скорости. Когда растет температура, v>2 растет в равной мере, значит, увеличение массы пропорционально повышению температуры. Но >1/>2т>0v>2— это кинетическая энергия в старомодном, ньютоновом смысле этого слова. Значит, можно сказать, что прирост массы газа равен приросту кинетической энергии, деленной на с>2, т. е. Dm=D(к.э.)/с>2.
§ 9. Связь массы и энергии
Это наблюдение навело Эйнштейна на мысль, что массу тела можно выразить проще, чем по формуле (15.1), если сказать, что масса равна полному содержанию энергии в теле, деленному на с>2. Если (15.11) помножить на с>2, получается
mc>2=m>0с>2+>1/>2m>0v>2+... . (15.12)
Здесь левая часть дает полную энергию тела, а в последнем члене справа мы узнаем обычную кинетическую энергию. Эйнштейн осмыслил первый член справа (очень большое постоянное число т>0с>2) как часть полной энергии тела, а именно как его внутреннюю энергию, или «энергию покоя».
К каким следствиям мы придем, если вслед за Эйнштейном предположим, что энергия тела всегда равна тс>2? Тогда мы сможем вывести формулу (15.1) зависимости массы от скорости, ту самую, которую до сих пор мы принимали на веру. Пусть тело сперва покоится, обладая энергией т>0с>2. Затем мы прикладываем к телу силу, которая сдвигает его с места и поставляет ему кинетическую энергию; раз энергия примется возрастать, то начнет расти и масса (это все заложено в первоначальном предположении). Пока сила действует, энергия и масса продолжают расти. Мы уже видели (см. гл. 13), что быстрота роста энергии со временем равна произведению силы на скорость
de/dt=F·v. (15.13)
Кроме того, F=d(mv)/dt[см. гл. 9, уравнение (9.1)]. Связав все это с определением Е и подставив в (15.13), получим
Мы хотим решить это уравнение относительно m. Для этого помножим обе части на 2m. Уравнение обратится в
Теперь нам нужно избавиться от производных, т. е. проинтегрировать обе части равенства. В величине (2m) dm/dtможно узнать производную по времени от m>2, а в (2mv)·d(mv)/dt— производную по времени от (mv)>2. Значит, (15.15) совпадает с
Когда производные двух величин равны, то сами величины могут отличаться не больше чем на константу С. Это позволяет написать
m>2с>2=m>2v>2+C. (15.17)
Определим теперь константу С явно. Так как уравнение (15.17) должно выполняться при любых скоростях, то можно взять v=0 и обозначить в этом случае массу через m>0. Подстановка этих чисел в (15.17) дает
m>2>0c>2=0+С.
Это значение С теперь можно подставить в уравнение (15.17). Оно принимает вид
m>2c>2=m2v2+m