Фейнмановские лекции по физике 2 (Фейнман) - страница 52

кото­рого равна ускорению ящика а. Таким образом, инерционные силы, возникающие вследствие ускорения тела, не имеют мо­мента относительно центра масс.

Этот факт имеет очень интересное следствие. В инерционной системе, движущейся без ускорения, момент сил всегда равен скорости изменения момента количества движения. Однако равенство момента силы и скорости изменения момента коли­чества движения остается справедливым даже для ускоряю­щегося тела, если взять ось, проходящую через центр масс. Таким образом, теорема о равенстве момента сил скорости изменения момента количества движения верна в двух случаях: 1) ось фиксирована — в инерциальной системе; 2) ось проходит через центр масс — даже когда тело ускоряется.

§ 2. Положение центра масс

Математическая техника вычисления центра масс относится к области курсов математики; там подобные задачи служат хорошими примерами по интегральному исчислению. Но, даже умея интегрировать, полезно знать некоторые трюки для вычис­ления положения центра масс. Один из таких трюков основан на использовании так называемой теоремы Паппа, которая ра­ботает следующим образом. Если мы возьмем какую-то замк­нутую фигуру и образуем твердое тело, вращая эту фигуру в пространстве так, чтобы каждая точка двигалась перпендику­лярно к плоскости фигуры, то объем образующегося при этом тела равен произведению площади фигуры на расстояние, прой­денное ее центром тяжести! Разумеется, эта теорема верна и в том случае, когда плоская фигура движется по прямой линии, перпендикулярной к ее площади, однако если мы движем ее по окружности или какой-то другой кривой, то при этом получа­ется гораздо более интересное тело. При движении по кривому пути внутренняя часть фигуры продвигается меньше, чем внеш­няя, и эти эффекты компенсируют друг друга. Так что если мы хотим определить центр масс плоской фигуры с однородной плотностью, то нужно помнить, что объем, образуемый враще­нием его относительно оси, равен расстоянию, которое проходит

Например, если нам нужно найти центр масс прямоуголь­ного треугольника с основанием Dи высотой H(фиг. 19.2), то это делается следующим образом.

Фиг. 19.2. Прямоугольный тре­угольник и прямой круговой конус, образованный вращением этого треугольника.

Вообразите себе ось, про­ходящую вдоль H, и поверните треугольник на 360° вокруг этой оси. Это дает нам конус. Расстояние, которое проходит x-координата центра масс, равно 2pх, а площадь области, кото­рая двигалась, т. е. площадь треугольника, равна ^>1/_>2HD. Произведение расстояния, пройденного центром масс, на пло­щадь треугольника равно объему конуса, т. е.