Фейнмановские лекции по физике 5 (Фейнман) - страница 28

, ограничивающая объем V(фиг. 3.3). Нам хочется узнать, сколько тепла вытекает из этого объема. Мы это можем, конечно, определить, рассчитав общий тепловой поток через поверхность S.

Обозначим через daплощадь элемента поверхности. Этот символ заменяет двумерный дифференциал. Если, например, элемент окажется в плоскости ху, то

da= dxdy.

Позже мы будем иметь дело с интегралами по объему, и тогда будет удобно рассматривать элемент объема в виде малого куби­ка и обозначать его dV, подразумевая, что

dV=dxdydz.

Кое-кто пишет и d^>2aвместо da, чтобы напомнить самому себе, что это выражение второй степени; вместо dVпишут также d^>3V. Мы будем пользоваться более простыми обозначениями, а вы уж постарайтесь не забывать, что у площадей бывают два измерения, у объемов — три.

Фиг. 3.3. Замкнутая поверх­ность S, ограничивающая объем V.

Единичный вектор n — внешняя нор­маль к элементу поверхности da, ah — вектор теплового потопа сквозь элемент поверхности.

Поток тепла через элемент поверхности daравен произведе­нию площади на составляющую h, перпендикулярную к da. Мы уже определяли n — единичный вектор, направленный наружу перпендикулярно к поверхности (см. фиг. 3.3). Искомая составляющая h равна

h_>n=h·n, (3.9)

и тогда поток тепла сквозь daравен

h·nda. (3.10)

А весь поток тепла через произвольную поверхность получается суммированием вкладов от всех элементов поверхности. Иными словами, (3.10) интегрируется по всей поверхности

(3.11)

Этот интеграл мы будем называть «поток h через поверх­ность». Мы рассматриваем h как «плотность потока» тепла, а поверхностный интеграл от h — это общий поток тепла наружу через поверхность, т. е. тепловая энергия за единицу времени (джоули в секунду).

Мы хотим эту идею обобщить на случай, когда вектор не представляет собой потока какой-то величины, а, скажем, является электрическим полем. Конечно, если это будет нужно, то и в этом случае все равно можно проинтегрировать нормаль­ную составляющую электрического поля по площади. Хотя теперь она уже не будет ничьим потоком, мы все еще будем упот­реблять слово

«поток». Мы будем говорить, что

(3.12)

Слову «поток» мы придаем смысл «поверхностного интеграла от нормальной составляющей» некоторого вектора. То же опре­деление будет применяться и тогда, когда поверхность незамк­нута.

А возвращаясь к частному случаю потока тепла, обратим внимание на те случаи, когда количество тепла сохраняется. Представьте себе, к примеру, материал, в котором после перво­начального подогрева не происходит ни дальнейшего подвода, ни поглощения тепла. Тогда, если из какой-то замкнутой по­верхности наружу поступает тепло, содержание тепла во внут­реннем объеме должно падать. Так что в условиях, когда количество тепла сохраняется, мы говорим, что