Фейнмановские лекции по физике 5 (Фейнман) - страница 29
(3.13)
где Q— запас тепла внутри S. Поток тепла из Sнаружу равен со знаком минус быстроте изменения со временем общего запаса тепла Qвнутри S. Это толкование возможно оттого, что речь идет о потоке тепла, и оттого, что мы предположили, что количество тепла сохраняется. Конечно, если бы внутри объема создавалось тепло, нельзя было бы говорить о полном запасе тепла в нем.
Укажем теперь на интересное свойство потока любого вектора. Можете при этом представлять себе вектор потока тепла, но верно это будет и для произвольного векторного поля С. Представьте себе замкнутую поверхность S, окружающую объем V. Разобьем теперь объем на две части каким-то «сечением» (фиг. 3.4). Получились два объема и две замкнутые поверхности. Объем V>1окружен поверхностью S>1> , составленной частью из прежней поверхности S>aи частью из «сечения» S>ab. Объем V>2 окружен поверхностью S>2, составленной из остатка прежней поверхности (S>b) и замкнутой сечением S>ab. Зададим вопрос: если мы рассчитаем поток через поверхность S>lи прибавим к нему поток сквозь поверхность S>2, будет ли их сумма равна потоку через первоначальную поверхность? Ответ гласит: «Да». Потоки через часть S>ab>, общую обеим поверхностям S>1 и S>2, в точности сократятся. Для потока вектора С из V>1можно написать
(3.14)
а для потока из V>2:
(3.15)
Заметьте, что во втором интеграле мы обозначили внешнюю нормаль к S>abбуквой n>1,если она относится к S>1 , и буквой n>2,если она относится к S>1(см. фиг. 3.4).
Фиг.3.4. Объем V, заключенный внутри поверхности S, делится на две части «сечением» (поверхностью S>ab). Получается объем V>1, окруженный поверхностью S>1 = S>a+S>ab, и объем V>2, окруженный поверхностью S>2=S>b+S>ab.
Ясно, что n>1=-n>2, и тем
самым
(3.16)
Складывая теперь уравнения (3.14) и (3.15), мы убеждаемся, что сумма потоков сквозь S>1и S>2как раз равна сумме двух интегралов, которые, взятые вместе, дают поток через первоначальную поверхность S=S>a+S>b.
Мы видим, что поток через всю внешнюю поверхность Sможно рассматривать как сумму потоков из тех двух частей, на которые разрезан объем. Эти части можно еще разрезать: скажем, V>1разбить пополам. Опять придется прибегнуть к тем же доводам. Так что для любого способа разбиения первоначального объема всегда остается справедливым то свойство, что поток через внешнюю поверхность (первоначальный интеграл) равен сумме потоков изо всех внутренних частей.
§ 3. Поток из куба; теорема Гаусса
Рассмотрим теперь частный случай потока из маленького кубика и получим интересную формулу. Ребра куба пусть направлены вдоль осей координат (фиг. 3.5), координаты вершины, ближайшей к началу, суть