Фейнмановские лекции по физике 5 (Фейнман) - страница 31

как раз на то количество, которое уходит с поверхности объема. Если этот объем — маленький кубик, то,

следуя формуле (3.17), мож­но написать

(3.19)

Но это должно быть равно скорости потери тепла внутренностью куба. Если q— количество тепла в единице объема, то весь

запас тепла в кубе qDV, а скорость потерь равна

(3.20)

Сравнивая (3.19) с (3.20), мы видим, что

(3.21)

Внимательно вглядитесь в форму этого уравнения; эта форма часто встречается в физике. Она выражает закон сохра­нения, в данном случае закон сохранения тепла. В уравнении (3.13) тот же физический факт был выражен иначе. Там была интегральная форма уравнения сохранения, а здесь у нас — дифференциальная форма.

Уравнение (3.21) мы получили, применив формулу (3.13) к бесконечно малому кубу. Можно пойти и по другому пути. Для большого объема F, ограниченного поверхностью S, за­кон Гаусса утверждает, что

(3.22)

Интеграл в правой части можно, используя (3.21), преобразо­вать как раз к виду -dQ/dt, и тогда получится формула (3.13).

Теперь рассмотрим другой случай. Представим, что в блоке вещества имеется маленькая дырочка, а в ней идет химическая реакция, генерирующая тепло. Можно еще представить себе, что к маленькому сопротивлению внутри блока подведены про­волочки, нагревающие его электрическим током. Предположим, что тепло создается практически в одной точке, a Wпредстав­ляет собой энергию, возникающую в этой точке за секунду. В остальной же части объема пусть тепло сохраняется и, кро­ме того, пусть генерация тепла началась так давно, что сейчас температура уже нигде больше не изменяется. Вопрос состоит в следующем: как выглядит вектор потока тепла h в разных точках металла? Сколько тепла перетекает через каждую точку?

Мы знаем, что если мы будем интегрировать нормальную составляющую h по замкнутой поверхности, окружающей источ­ник, то всегда получится W. Все тепло, которое генерируется в точечном источнике, должно протечь через поверхность, ибо предполагается, что поток постоянен. Перед нами трудная задача отыскания такого векторного поля, которое после ин­тегрирования по произвольной поверхности всегда давало бы W. Но мы сравнительно легко можем найти это поле, выбрав поверхность специального вида. Возьмем сферу радиусом Rс центром в источнике и предположим, что поток тепла радиален (фиг. 3.6). Интуиция нам подсказывает, что h должен быть направлен по радиусу, если блок вещества велик и мы не приближаемся слишком близко к его границам; кроме того, вели­чина h во всех точках сферы должна быть одинакова.

Фиг. 3.6. В области близ точеч­ного источника поток тепла на­правлен по радиусу наружу.