Фейнмановские лекции по физике 5 (Фейнман) - страница 32
Фиг. 3.6. В области близ точечного источника поток тепла направлен по радиусу наружу.
Вы видите, что для получения ответа к нашим выкладкам мы вынуждены добавить известное количество домыслов (обычно это именуют «физической интуицией»).
Когда h радиально и сферически симметрично, интеграл от нормальной компоненты h по площади поверхности вычисляется очень просто, потому что нормальная компонента в точности равна h и постоянна. Площадь, по которой интегрируется, равна 4pR>2. Тогда мы получаем
(3.23)
где h— абсолютная величина h. Этот интеграл должен быть равен W— скорости, с которой источник генерирует тепло. Получается
или
(3.24)
где, как всегда, e>r обозначает единичный вектор в радиальном направлении. Этот результат говорит нам, что h пропорционален Wи меняется обратно квадрату расстояния от источника.
Только что полученный результат применим к потоку тепла вблизи точечного источника тепла. Теперь попытаемся найти уравнения, которые справедливы для теплового потока самого общего вида (придерживаясь единственного условия, что количество тепла должно сохраняться). Нас будет интересовать только то, что происходит в местах вне каких-либо источников или поглотителей тепла.
Дифференциальное уравнение распространения тепла было получено в гл. 2. В соответствии с уравнением (2.44),
(3.25)
(Помните, что это соотношение приближенное, но для некоторых веществ вроде металлов выдерживается неплохо.) Применимо оно, конечно, только в тех частях тела, где нет ни выделения, ни поглощения тепла. Выше мы вывели другое соотношение (3.21), которое выполняется тогда, когда количество тепла сохраняется. Если мы это уравнение скомбинируем с (3.25), то получим
или
(3.26)
если c — величина постоянная. Напоминаю, что q— это количество тепла в единичном объеме, а С·С = С>2 — лапласиан, т. е. оператор
Если мы теперь сделаем еще одно допущение, сразу возникнет одно очень интересное уравнение. Допустим, что температура материала пропорциональна содержанию тепла в единице объема, т. е. что у материала есть определенная удельная теплоемкость. Когда это допущение верно (а так бывает часто), мы можем писать
или
(3.27)
Скорость изменения количества тепла пропорциональна скорости изменения температуры. Коэффициент пропорциональности c>vздесь — удельная теплоемкость на единицу объема материала. Подставляя (3.27) в (3.26), получаем
(3.28)
Мы обнаружили, что быстрота изменения со временем температуры Т в каждой точке пропорциональна лапласиану от Т, т. е. вторым производным от пространственного распределения температур. Мы имеем дифференциальное уравнение — в переменных