Евклид. Геометрия (Carrera) - страница 14
Разделенная линия, книга VI «Государства» Платона.
Афинская Академия была основана Платоном около 388 года до н.э. как философская школа. Она была построена в садах Академа, легендарного героя греческой античности, в последний раз возрождалась после смерти Прокпа в 485 году и была окончательно закрыта в 529-м по приказу императора Юстиниана. В стенах Академии разворачивалась основная философская и научная деятельность той эпохи. Там изучали медицину, совершенствовались в риторике и углублялись в астрономию, уделяя особое внимание гелиоцентрической теории. По всем этим дисциплинам разворачивались открытые дискуссии.
Афинская Академия сегодня. Статуи Платона и Сократа.
По этой аналогии изменяющиеся, преходящие объекты (расположенные в нижней части линии) являются предметом doxa (мнения), а непреходящие (в верхней линии) — предметом gnosis (знания). Математические объекты вечны, но занимают промежуточное положение: они не принадлежат ни нижнему, ни верхнему уровню.
Платон устанавливает четкое разделение между способами рассуждения в диалектической речи (свойственной философу) и научной (присущей математику).
Математическое рассуждение использует гипотезы. Умопостижение, присущее философу, идет дальше, чем построение гипотез. Оно заключается не в математических рассуждениях, идущих от гипотез к теоремам, а в философии и ставит вопросы самой математике: что означают гипотезы? Почему они приемлемы? Могут ли они быть другими? Математической деятельности не хватает возвращения от выводов к гипотезам.
О математических фигурах Платон говорит:
«— Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. То же самое относится к произведениям ваяния и живописи: от них может падать тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором. — Ты прав».
Так, когда математик устанавливает истинность общего свойства треугольника (как, например, в предложении 16 первой книги), не важно, каков он — остроугольный, прямоугольный, тупоугольный, — даже если конкретная фигура, на которой он объясняет свои рассуждения, является остроугольным треугольником. Если же свойство, которое он хочет показать, зависит от вида треугольника, тогда он создает по теореме отдельно для каждого конкретного случая, как общая теорема Пифагора, из которой следуют три теоремы: предложение 47 первой книги и предложения 9 и 10 второй книги.