Евклид. Геометрия (Carrera) - страница 23

Sumperasma (заключение)Треугольник АВС равносторонний, и мы построили то, что требовалось. Ч. Т. Д. (что и требовалось доказать). 

В этом предложении есть все необходимое (см. таблицу на следующей странице). Для построения используются постулаты 3 и 1. В доказательстве используется определение 15, общее понятие 1 и элементарная логика. Представив изначально равносторонний треугольник ЛВС, мы получаем множество отправных точек для построения и доказательства. Исходя из этого «идеального» образа можно провести синтетическое доказательство, поскольку в нем стороны равны и образуют треугольник. В другом случае, например с правильным пятиугольником, это будет гораздо сложнее.

Хотя у циркуля нет памяти, по первому постулату возможно «от данной точки отложить прямую, равную данной прямой» и таким образом добавлять равные отрезки, необходимые для построения правильных фигур. Также возможно разделить отрезок на меньшие части.

Проанализируем еще два доказательства, чтобы рассмотреть логико-дедуктивный метод «Начал».

Книга I, предложение 5.

В равнобедренных треугольниках углы у основания равны между собой (см. рисунок).

1. Дан равнобедренный треугольник ΔABG с равными сторонами АВ и AG (определение 20).

2. Продлим их на равные отрезки BZ и GH соответственно (общее понятие 2, предложение 2).

3. Соединим Z c G, а Н с В (постулат 1).

4. Треугольники ΔAGZ и ΔAВН равны (предложение 4, по критерию равенства треугольников сторона — угол — сторона), поскольку у них равны стороны ^4Z и АН (общее понятие 2) и AG и АВ соответственно, и общий угол между ними. Следовательно, углы

5. Треугольники ΔGBZ и ΔBGH равны (предложение 4), следовательно, углы

Книга I, предложение 15. Если две прямые пересекаются, то образуют в вершине углы, равные между собой (см. рисунок).

1. Прямые АВ и CD пересекаются в точке Е (утверждение).

2. Необходимо доказать, что углы

3. Суммы пар углов <СЕВ <СЕА и <СЕА

4. Следовательно, суммы пар углов <СЕВ <СЕА и <СЕА

5. Если мы вычтем из обеих пар угол <СЕА, оставшиеся углы <СЕВ и


Обратим внимание на то, что Евклид прибегает к определениям, уже доказанным предложениям, общим понятиям и постулатам. С их помощью, последовательно связывая рассуждения и построения, мы достигаем искомого результата исходя из заданных условий. Простота этих доказательств придает им большое изящество.