Евклид. Геометрия (Carrera) - страница 51
Это определение устанавливает, при каких условиях две величины «имеют отношение между собой»; если они не выполнены, между ними не будет отношения. Сравним это определение со следующими.
| Утверждение | Определение |
| Две прямые параллельны друг другу, | если они, продленные бесконечно, не встречаются. |
| Одна прямая перпендикулярна другой, | если при их пересечении образуются прямые углы. |
| Две величины имеют отношение между собой, | если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга. |
| Число является простым, | если измеряется только единицей. |
| Два числа простые между собой, | если их единственная общая часть — единица. |
Для математика не так важен онтологический аспект («что это?»), сколько методологический («как это работает?»). Следовательно, его интересует, одинаковы два соотношения, или одно больше другого, даже если ему и не совсем ясно, что такое, собственно, соотношение. Именно об этом говорится в определениях 5, 6 и 7.
Определение 5. Говорят, что величины находятся в том же отношении первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке.
Определение 6. Величины же, имеющие то же отношение, пусть называются пропорциональными.
Определение 7. Если же из равнократных кратное первой превышает кратное второй, а кратное третьей не превышает кратного четвертой, то говорят, что первая ко второй имеет большее отношение, чем третья к четвертой.
Возьмем две пары однородных величин: А — В и Г — Δ (термин «однородные» нигде не объясняется, но очевидно, что имеются в виду две поверхности, два числа, два тела и так далее; напротив, линия, число и тело будут неоднородными величинами). Каждая пара образует соотношение, которое мы запишем как
А/B и Г/Δ.
Возникает вопрос: в каком случае мы можем сказать, что
А/B = Г/Δ, а когда А/B > Г/Δ ?
Теперь возьмем два произвольных множителя: множитель т для А и Г и n для В и А. При этом m х А и n х В — однородные величины, значит, их можно сравнивать; то же верно и для m х Г и n х Δ.
Следовательно, каково бы ни было значение множителей тип, каждый раз, когда мы имеем
то имеем и
То есть А/B = Г/Δ
Если же у нас такая пара множителей при которых
m х A > n х B, но m х Г < n х Δ,то
А/B > Г/Δ
Из-за чего Евклиду понадобилось такое сложное определение? Из-за несоизмеримости. Рассмотрим одно и то же предложение в двух разных случаях: в первом отрезки будут соизмеримы, а во втором — нет.