БЕСКОНЕЧНОСТЬ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
В предыдущих главах мы говорили об ограничениях, наложенных Аристотелем на использование понятия бесконечности. В предложении 20 книги IX {«Простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел») Евклид соблюдает это ограничение и проявляет большую осторожность, чтобы не сказать о «бесконечном ряде простых чисел». И тем не менее существует ли алгоритм, позволяющий получать все больше и больше простых чисел? Евклид ничего не говорил по этому поводу. Лишь позже, в «Арифметике» Никомаха Герасского (ок. 60 — ок. 120) рассказывается о решете Эратосфена — методе, названном по имени изобретшего его математика:
«Способ получения всех этих чисел Эратосфен назвал решетом, потому что здесь сначала берутся нечетные числа, все вместе и без различий между ними, а затем этим производящим методом отделяются, как посредством решета, первичные числа от составных. Способ решета состоит в следующем. Начинают с тройки, а потом располагают в ряд все числа, кратные трем, пропуская два числа через каждые три и убирая третье. Потом переходят к первому оставшемуся числу, пятерке; пропускают четыре числа и убирают пятое; затем то же проделывают с семеркой, и так дальше, начиная всякий раз с первого неубранного числа».
СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА
Хотя Евклид и дал правильное определение простых чисел, а также теорему, чтобы породить совершенные числа, он не снабдил ее никаким примером. Соответствующее предложение может показаться неясным, возможно потому что оно представлено в описательной форме.
Книга IX, предложение 36. Если от единицы откладывается сколько угодно последовательно пропорциональных чисел в двойном отношении до тех пор, пока вся их сумма не станет первым числом, [...] то возникающее число будет совершенным.
Евклид имеет в виду следующее:
Если 1,2, 2>2, 2>3, ..., 2>n последовательно удваивать, то их сумма будет
S>n=1 + 2 + 2>2 + 2>3+...+ 2>n = 2>n+1 -1; если S>n — простое число, то Р>n = 2>n x S>n = 2>nx(2>n+1-1) — совершенное число (четное).
Евклиду удалось получить этот результат, потому что в предложении 35 книги IX он уже дал формулу, необходимую для сложения чисел из последовательности 1, 2, 2>2, 2>3, ..., 2>n. Он также обратил внимание, что единственные рассмотренные делители Р, 1, 2, 2>2, 2>3,..., 2>n и S>n, 2 х S>n, 2>2 х S>n, 2>3 x S>n,..., 2>n-1 x S>n. Он сложил их и получил результат теоремы: сумму делителей 1, 2, 2>2, 2>3, ..., 2>n,
равную S>n = 2>n + 1 - 1, и сумму делителей S>n, 2 x S ,2>2 x S ,2>3 x S ,..., 2>n-1 x S и (2>n - 1) x S . Сумма двух результатов — Р