Энциклопедический словарь юного математика (Савин) - страница 15

Поскольку совокупность различных множеств с заданными в них законами композиции необозрима, были выделены типы таких множеств, которые хотя и не изоморфны друг другу, но обладают общими свойствами композиции. Например, изучив свойства операций сложения и умножения в множествах рациональных, действительных и комплексных чисел, математики создали общее понятие поля – множества, где определены эти две операции, причем выполняются их обычные свойства. Исследование операции умножения матриц привело к выделению понятия группы, которое является сейчас одним из важнейших не только в алгебре, но и во всей математике.

В наши дни алгебра – одна из важнейших частей математики, находящая приложения как в сугубо теоретических отраслях науки, так и во многих практических вопросах.

Алгебраические уравнения – уравнения вида

P(x_>1, ..., x_>n) = O,

где P - многочлен от переменных x_>1, ..., x_>n. Эти переменные называют неизвестными. Упорядоченный набор чисел (a_>1, ..., a_>n) удовлетворяет этому уравнению, если при замене x_>1 на a_>1, x_>2 на a_>2 и т.д. получается верное числовое равенство (например, упорядоченная тройка чисел (3, 4, 5) удовлетворяет уравнению x^>2 + y^>2 = z^>2, поскольку 3^>2 + 4^>2 = 5^>2). Число, удовлетворяющее алгебраическому уравнению с одним неизвестным, называют корнем этого уравнения. Множество всех наборов чисел, удовлетворяющих данному уравнению, есть множество решений этого уравнения. Два алгебраических уравнения, имеющих одно и то же множество решений, называются равносильными. Степень многочлена P называется степенью уравнения P(x_>1, ..., x_>n) = O. Например, Зx — 5у + z = c - уравнение первой степени, x^>2 + y^>2 = z^>2 - второй степени, а x^>4 - Зx^>3 + 1 = 0 - четвертой степени. Уравнения первой степени называют также линейными (см. Линейные уравнения).

x^>2 + y^>2 = 10, x^>2 - y^>2 = 8 таково: {(3; 1), (3; -1), (-3; 1), (-3; -1)}.

НИЛЬС ГЕНРИХ АБЕЛЬ

(1802-1829)

В Королевском парке в Осло стоит скульптура сказочного юноши, попирающего двух поверженных чудовищ: по цоколю идет надпись "ABEL".

Что же символизируют чудовища? Первое из них, несомненно – алгебраические уравнения 5-й степени. Еще в последних классах школы Абелю показалось, что он нашел формулу для их решения, подобную тем, которые существуют для уравнений степени, не превышающей четырех. Никто в провинциальной Норвегии не смог проверить доказательство. Абель сам нашел у себя ошибку, он уже знал, что не существует выражения для корней в радикалах. Тогда Абель не знал, что итальянский математик П. Руффини опубликовал доказательство этого утверждения, содержащее, однако, пробелы.