Энциклопедический словарь юного математика (Савин) - страница 44
Вторая предельная теорема получила наименование теоремы Ляпунова, или центральной предельной теоремы: если случайные величины ξ>1, ξ>2, ... независимы, имеют конечные математические ожидания a>1, a>2,... и дисперсии Dξ>k = b>2>k, то при дополнительном условии равномерной малости отдельных слагаемых имеет место:
где
Эта теорема является значительным обобщением интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
В нашем веке в связи с физическими, биологическими, инженерными и другими исследованиями возникла необходимость рассматривать случайные процессы ξ(t), т.е. случайные функции от одного независимого переменного t, под которым обычно понимается время.
Теория случайных процессов в наши дни является одним из основных математических средств изучения явлений реального мира.
Первые задачи теории вероятностей были рассмотрены Л. Пачоли (1445-ок. 1514), Д. Кардано (1501-1576), Н. Тарталья (ок. 1499-1557), Б. Паскалем (1623-1662), П. Ферма (1601-1665), X. Гюйгенсом (1629-1695). В качестве самостоятельной научной дисциплины теория вероятностей стала оформляться в работах Я. Бернулли (1654-1705), А. Муавра (1667-1754), П. Лапласа (1749-1827), С. Пуассона (1781-1840). Ее последующее развитие связано с именами П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, А. М. Ляпунова (1857-1918), А. Я. Хинчина (1894-1959), С. Н. Бернштейна (1880-1968), А. Н. Колмогорова (1903-1987) и других.
ВИВИАНИ КРИВАЯ
Изображенную на рисунке пространственную кривую - «восьмерку» называют вивианой, по имени итальянского ученого XVII в. В. Вивиани, изучавшего эту кривую. Эта кривая получается как линия пересечения сферы с поверхностью цилиндра вдвое меньшего радиуса, проходящей через ее центр. Вивиана отделяет на сфере две области, суммарная площадь которых равна площади квадрата, построенного на диаметре сферы. На доказательствах свойств вивианы пробовали мощь методов математического анализа ученые, стоявшие у истоков этой науки, - Г. В. Лейбниц, И. Бернулли и другие.
Несложно вычертить вивиану на поверхности деревянного цилиндра. Для этого нужно взять циркуль с раствором, равным диаметру цилиндра, и, воткнув иглу в цилиндр, двигать грифель по его поверхности.
ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ
Ход изменения функции становится наиболее ясным, если перед глазами есть график этой функции. Для примера рассмотрим график на рис. 1.
Рис. 1
Если при возрастании аргумента на некотором промежутке функция y = f(x) в свою очередь возрастает, так что большему значению